La structure par terme des taux d'intérêt et les spreads de crédit

Climax · 09-02-2024 12:56:10

Comment modéliser la structure par terme des taux d'intérêt et des spreads de crédit ?

La modélisation de la structure par terme des taux d'intérêt et des écarts de crédit est une tâche fondamentale pour les gestionnaires de risques et ceux qui négocient des taux et des titres à revenu fixe.

Divers modèles et méthodes ont été développés pour saisir et prédire avec précision le comportement des taux d'intérêt et des spreads de crédit dans le temps.

Ils permettent de comprendre et de prévoir divers phénomènes financiers, tels que l'évaluation des obligations, la gestion des risques et les décisions de trading et d'investissement.

Principaux enseignements :

Modélisation des taux d'intérêt - Plusieurs modèles tentent de saisir la relation entre le rendement et l'échéance :

Modèles de courbes de rendement
Modèles factoriels
Modèles sans arbitrage

Modélisation des spreads de crédit - Les spreads de crédit reflètent le rendement supplémentaire exigé par les investisseurs pour détenir des obligations plus risquées par rapport aux taux sans risque. Voici quelques approches courantes :

Modèles à forme réduite
Modèles structurels
Structure par terme des écarts de crédit

Considérations importantes

Modélisation conjointe - De nombreux modèles avancés intègrent à la fois la dynamique des taux d'intérêt et celle des spreads de crédit (en reconnaissant leurs interdépendances).
Calibrage et validation - Il est important de choisir le bon modèle et de calibrer ses paramètres en fonction des données du marché. Le backtesting et le stress testing sont nécessaires à la validation du modèle.
Complexité du modèle - Le niveau de complexité doit être adapté au problème posé et aux données disponibles. Des modèles plus simples peuvent suffire pour certaines tâches, tandis que des modèles complexes peuvent être nécessaires pour une analyse détaillée ou la gestion des risques.

Exemple de codage

Nous fournissons un exemple de codage d'une simulation de taux d'intérêt.

1. Bootstrapping

Le bootstrap est une méthode utilisée pour construire une courbe de rendement à coupon zéro.

Le processus consiste à dériver les taux au comptant pour certaines échéances sur la base des prix des instruments porteurs de coupons (généralement des obligations d'État) sans qu'il y ait d'opportunités d'arbitrage.

Voici une vue d'ensemble du processus de bootstrapping :

Commencer par des instruments à court terme

Commencer par les instruments ayant l'échéance la plus courte (généralement les bons du Trésor) pour obtenir les taux au comptant initiaux.

Processus itératif

Utiliser les taux au comptant obtenus pour les instruments à court terme afin de trouver les taux au comptant pour les instruments à plus long terme.

Obligations à coupons

Pour les obligations à coupons, actualisez chaque flux financier en utilisant les taux au comptant correspondant à son échéance.

La somme de ces flux actualisés doit être égale au prix de marché de l'obligation.

Extraction du taux au comptant pour les instruments à long terme

Trouver le taux au comptant qui permet d'égaliser la valeur actuelle des flux de trésorerie au prix de l'obligation.

Ce processus est répété itérativement pour construire la courbe de rendement pour toutes les échéances.

2. Courbes multiples

Le cadre multi-courbes est un développement plus récent, plus pertinent dans le monde financier post-2008 où l'hypothèse selon laquelle les différentes échéances ont une courbe de rendement unique est devenue inadéquate.

Dans cette approche, des courbes distinctes sont construites pour :

Courbe à terme

Pour prévoir les taux futurs.

Courbe d'actualisation

Pour l'actualisation des flux de trésorerie.

Cette approche tient compte des distorsions du marché telles que celles observées pendant la crise financière, où les primes de risque de crédit et de liquidité peuvent varier de manière significative entre les différentes échéances et les différents instruments.

3. Modèles de taux courts

Les modèles de taux courts se concentrent sur la modélisation du taux d'intérêt instantané (le taux pour une très courte période) et en déduisent l'ensemble de la courbe de rendement.

Voici quelques-uns des modèles de taux courts les plus connus :

Modèle Vasicek : Suppose que le taux court suit un processus stochastique de retour à la moyenne. Il tente essentiellement de modéliser le fait que les taux d'intérêt ne restent pas trop élevés ou trop bas pendant de longues périodes.
Modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) :Similaire au modèle de Vasicek mais garantit que les taux sont toujours positifs (ce qui n'est pas forcément le cas dans la vie réelle, qu'il s'agisse de taux nominaux ou réels).
Modèle de Hull-White : Une extension du modèle de Vasicek qui permet un niveau de retour à la moyenne et une volatilité dépendant du temps. Ces modèles sont utiles pour évaluer les produits dérivés de taux d'intérêt tels que les options sur obligations ou les swaps de taux d'intérêt.

Exemple de codage des modèles Vasicek, CIR et Hull-White (modèles à taux courts)

Le code Python ci-dessous simule et trace les taux d'intérêt dans le temps pour trois modèles différents :

Modèle Vasicek
Modèle Cox-Ingersoll-Ross (CIR)
Modèle Hull-White

Chaque modèle fournit une approche unique de la modélisation des taux d'intérêt, qui reflète leurs caractéristiques respectives :

retour à la moyenne dans le modèle Vasicek
taux positifs garantis par le modèle CIR
paramètres dépendant du temps dans le modèle de Hull-White.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters - Vasicek Model
r0_vasicek = 0.05 # Initial short rate
kappa_vasicek = 0.1 # Speed of mean reversion
theta_vasicek = 0.05 # Long-term mean rate
sigma_vasicek = 0.02 # Volatility
T = 10 # Time horizon
dt = 0.01 # Time step
steps = int(T / dt)
t = np.linspace(0, T, steps)

# Vasicek Model Sim
def simulate_vasicek(r0, kappa, theta, sigma, T, dt):
steps = int(T / dt)
rates = np.zeros(steps)
rates[0] = r0
for i in range(1, steps):
dr = kappa * (theta - rates[i-1]) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * np.random.normal()
rates[i] = rates[i-1] + dr
return rates

# Parameters - CIR Model
r0_cir = 0.05
kappa_cir = 0.2
theta_cir = 0.07
sigma_cir = 0.07

# CIR Model Sim
def simulate_cir(r0, kappa, theta, sigma, T, dt):
steps = int(T / dt)
rates = np.zeros(steps)
rates[0] = r0
for i in range(1, steps):
dr = kappa * (theta - rates[i-1]) * dt + sigma * np.sqrt(rates[i-1]) * np.sqrt(dt) * np.random.normal()
rates[i] = max(rates[i-1] + dr, 0) # Ensure rates are non-negative
return rates

# Parameters - Hull-White Model
r0_hw = 0.05
kappa_hw = 0.08
theta_hw = lambda t: 0.05 + 0.01 * np.cos(t) # Time-dependent mean reversion level
sigma_hw = 0.01

# Hull-White Model Sim
def simulate_hull_white(r0, kappa, theta, sigma, T, dt):
steps = int(T / dt)
rates = np.zeros(steps)
rates[0] = r0
for i in range(1, steps):
dr = kappa * (theta(t[i-1]) - rates[i-1]) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * np.random.normal()
rates[i] = rates[i-1] + dr
return rates

# Simulating & plotting the models
vasicek_rates = simulate_vasicek(r0_vasicek, kappa_vasicek, theta_vasicek, sigma_vasicek, T, dt)
cir_rates = simulate_cir(r0_cir, kappa_cir, theta_cir, sigma_cir, T, dt)
hw_rates = simulate_hull_white(r0_hw, kappa_hw, theta_hw, sigma_hw, T, dt)

plt.figure(figsize=(14, 7))

plt.plot(t, vasicek_rates, label="Vasicek Model")
plt.plot(t, cir_rates, label="CIR Model")
plt.plot(t, hw_rates, label="Hull-White Model")

plt.xlabel("Time (Years)")
plt.ylabel("Interest Rate")
plt.title("Interest Rate Models Simulation")
plt.legend()
plt.show()

Le graphique illustre la manière dont chaque modèle génère une trajectoire pour les taux d'intérêt sur un horizon de 10 ans.

Vasicek vs. CIR vs. Hull-White Simulation de taux d'intérêt

4. Le cadre de Heath-Jarrow-Morton (HJM)

Le cadre HJM est un cadre général de modélisation de l'évolution des taux d'intérêt.

Il modélise directement l'ensemble de la courbe des taux à terme plutôt que le seul taux court.

Les points clés sont les suivants :

Taux à terme

Le modèle spécifie la dérive et la volatilité des taux à terme.

Pas d'arbitrage

Le modèle garantit l'absence d'arbitrage.

Flexibilité

Le modèle peut s'adapter à un large éventail de structures de volatilité et de corrélation.

Le cadre HJM est mathématiquement complexe et intensif en termes de calcul, mais il est très flexible et a été utilisé dans des contextes réels.

5. Modèle du marché du Libor (LMM)

Également connu sous le nom de modèle Brace-Gatarek-Musiela, le LMM étend les modèles de taux courts pour modéliser l'ensemble de la courbe des taux à terme, à l'instar du modèle HJM.

Il modélise spécifiquement la dynamique des différents taux Libor (le Libor n'existe plus, il s'appliquerait donc à d'autres taux) et est largement utilisé pour l'évaluation des produits dérivés de taux d'intérêt, en particulier ceux qui impliquent des taux similaires au Libor, comme les swaptions et les caps/floors.

6. Modèle Cheyette

Il s'agit d'une extension du modèle de taux court (en particulier le modèle Hull-White) qui inclut une composante de volatilité stochastique.

Le modèle de Cheyette est connu pour sa capacité à capturer l'effet de sourire de la volatilité observé dans les options de taux d'intérêt.

7. Modèles de Nelson-Siegel et de Svensson

Il s'agit de modèles empiriques utilisés pour ajuster la courbe de rendement.

Le modèle de Nelson-Siegel utilise une équation paramétrique pour décrire la courbe de rendement.

Il saisit le niveau, la pente et la courbure de la courbe.

Le modèle de Svensson prolonge cette équation en y ajoutant un autre terme, qui permet une meilleure adaptation de la partie longue de la courbe.

8. Modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) étendu

Il s'agit d'une extension du modèle CIR de base qui peut inclure plusieurs facteurs.

Il permet de saisir les différents facteurs de risque qui déterminent la dynamique des taux d'intérêt.

9. Modèles de volatilité stochastique et de diffusion par saut

Ces modèles ajoutent une complexité supplémentaire en incorporant des caractéristiques telles que la volatilité stochastique (les changements de volatilité dans le temps sont aléatoires) et la diffusion par saut (changements soudains et importants des taux d'intérêt).

Le modèle de Bates et le modèle de Duffie-Darling en sont des exemples.

10. Modèle de Nelson-Siegel sans arbitrage

Ce modèle adapte le modèle traditionnel de Nelson-Siegel pour garantir l'absence d'arbitrage, ce qui le rend adapté à un plus grand nombre d'applications financières.

11. Modèle dynamique de Nelson-Siegel

Il s'agit d'une extension du modèle de Nelson-Siegel dans l'espace d'état qui permet aux paramètres de changer au fil du temps, ce qui permet d'obtenir une adaptation dynamique à l'évolution de la courbe de rendement.

12. Modèle G2

Extension du modèle Hull-White, le modèle G2++ permet une modélisation à deux facteurs du taux d'intérêt.

Cela permet de mieux saisir ce qui se passe dans les mouvements des taux d'intérêt.

13. Modèles gaussiens quadratiques

Ces modèles proposent que le taux court suive une fonction quadratique de facteurs gaussiens.

Ils sont capables de générer des structures à terme réalistes en forme de bosse pour les taux d'intérêt et les volatilités.

14. Modèles de filtre de Kalman

Bien qu'il ne s'agisse pas d'un modèle de structure des taux en soi, les filtres de Kalman sont souvent utilisés en conjonction avec des modèles espace-état (comme le modèle dynamique de Nelson-Siegel) pour estimer les variables d'état cachées dans un système évoluant de manière dynamique (comme les facteurs qui déterminent les changements dans la courbe des taux d'intérêt).

15. Modèles affines de structure des taux

Les modèles affines de structure des taux (ATSM) sont des cadres mathématiques qui décrivent comment les taux d'intérêt et les prix des obligations évoluent dans le temps en prenant en compte la maturité des obligations pour prédire leurs rendements et leurs prix.

Ils constituent un moyen dynamique et flexible d'analyser les taux d'intérêt.

Ils permettent une évaluation cohérente des obligations pour différentes échéances en les reliant par un ensemble d'équations linéaires (affines).

16. Modèle Diebold-Li

Le modèle Diebold-Li est un type spécifique de modèle affine de structure des taux qui simplifie l'estimation de la courbe de rendement en utilisant trois facteurs clés :

le niveau (taux moyen à long terme)
la pente (différence entre les taux à court et à long terme)
la courbure (la forme de la courbe des taux entre le court et le moyen terme).

Il utilise une approche dynamique de Nelson-Siegel.

Elle est donc efficace pour prévoir les rendements futurs et analyser les mouvements des taux d'intérêt dans le temps en ajustant ces facteurs aux données historiques de la courbe des rendements.

17. Modèle KMV

Le modèle KMV (développé par Kealhofer, McQuown et Vasicek) est un modèle de risque de crédit qui estime la probabilité de défaillance d'une entreprise en analysant la valeur de marché de ses actifs, sa volatilité et le seuil (point de défaillance).

Il utilise les informations du marché pour prédire la probabilité de défaillance dans un certain délai, de sorte que sa principale application est la gestion du risque de crédit.

18. Modèle de migration des notations de crédit

Les modèles de migration des notations de crédit suivent la probabilité d'évolution des notations de crédit dans le temps, y compris les relèvements, les abaissements ou les défaillances.

Ces modèles sont utilisés pour évaluer le risque de crédit et les changements potentiels dans la solvabilité des emprunteurs.

Ils permettent aux traders et aux gestionnaires de risques d'ajuster leurs portefeuilles et leurs stratégies en conséquence.

19. Modèle de Duffie et Singleton

Le modèle de Duffie et Singleton est un cadre pour l'évaluation des dérivés du risque de crédit et des produits de crédit structurés.

Il intègre la dynamique des taux d'intérêt et le processus d'intensité des défauts.

Il offre une méthode pour évaluer les titres sensibles au crédit en modélisant explicitement le risque de défaut et les taux de recouvrement.

20. Modèle de saut et de diffusion de Merton

Le modèle de saut et de diffusion de Merton étend le modèle de Black-Scholes en incorporant des changements soudains et discontinus dans les prix des actifs parallèlement aux mouvements continus des prix.

Il est utilisé pour déterminer le prix des options et d'autres instruments financiers.

Il tient compte du risque de sauts importants dans les prix, ce qui est particulièrement important sur les marchés volatils ou en cas de chocs économiques.

Conclusion

Dans la pratique, le choix entre ces méthodes dépend des exigences spécifiques de la tâche à accomplir, de la disponibilité et de la qualité des données de marché, ainsi que du niveau de précision requis.

Chaque méthode a ses points forts et ses domaines d'application, et il n'est pas rare de voir des institutions financières utiliser une combinaison de ces méthodes pour répondre à leurs besoins particuliers.

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#1 09-02-2024 12:56:10