#1 08-06-2023 14:28:38

Climax

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Modèle financier de Black-Scholes en R et MATLAB

Le modèle de Black-Scholes est une approche mathématique permettant d'évaluer le prix d'une option sur une action sous-jacente. Black-Scholes est l'un des modèles d'évaluation d'options les plus précis disponibles. Il est toujours utilisé depuis plus de quarante ans et constitue l'un des cadres courants de modélisation des prix des options.

Il est dérivé d'une amélioration du modèle Boness antérieur en utilisant le taux d'intérêt sans risque comme facteur d'actualisation choisi et en éliminant les hypothèses relatives à la tolérance au risque des traders et des investisseurs.

Néanmoins, comme pour tout modèle, il existe toujours des hypothèses inhérentes afin de former la base du modèle.

Black et Scholes ont formulé six hypothèses clés concernant leur modèle d'évaluation des options :

1. Marchés financiers efficients

Cela suppose que les marchés évoluent effectivement de manière aléatoire et que les investisseurs ne peuvent pas déterminer avec précision leur orientation.

Ils suivent simplement un processus aléatoire de Markov en temps continu.

2. L'actif sous-jacent ne verse pas de dividendes

Les dividendes perturbent de nombreux modèles d'options et augmentent leur niveau de complexité mathématique (et prédictive).

De nombreuses entreprises versent des dividendes (ou une fraction du prix de l'action) à leurs actionnaires. Par conséquent, le modèle Black-Scholes ne peut pas prédire avec précision le prix des options pour un sous-jacent versant des dividendes.

Un dividende plus élevé diminue la prime des options d'achat, car l'investissement présente un risque intrinsèque moindre pour le vendeur de l'option.

Une façon de contrôler l'effet du dividende dans le modèle de Black-Scholes est de prendre le prix actuel de l'action et de soustraire la valeur actualisée d'un dividende futur.

3. Les options ne peuvent pas être exercées de manière anticipée

Les options américaines permettent l'exercice anticipé d'une option à n'importe quel moment de sa durée. Par conséquent, les options américaines ont une valeur intrinsèque plus élevée que les options européennes, par exemple, qui ne permettent pas l'exercice anticipé en raison de leur manque de flexibilité.

Cette hypothèse ne donne pas lieu à un écart considérable par rapport à la réalité, car peu d'options sont exercées dans les derniers jours précédant l'expiration, étant donné que la valeur temporelle de l'option ne joue pas un rôle important dans son prix.

4. Des taux d'intérêt transparents et constants

Black-Scholes utilise le "taux d'intérêt sans risque", qui est un concept entièrement théorique car il n'existe pas d'investissement "sans risque". Tous les investissements comportent par nature un certain degré de risque.

Le taux d'intérêt sans risque représente le rendement théorique d'un investissement dans l'hypothèse d'un environnement véritablement sans risque.

Le taux sans risque pour l'évaluation des options est généralement considéré comme le taux d'actualisation des bons du Trésor américain entre 1 et 12 mois avant l'échéance. Les taux d'intérêt fluctuent régulièrement, ce qui ajoute un certain degré d'erreur au modèle.

5. Aucune commission n'est prélevée

Dans des scénarios normaux, les investisseurs doivent payer leur courtier pour acheter ou vendre des options et ils encourent des frais de transaction (différence entre le prix d'achat et le prix de vente).

Dans le cadre de Black-Scholes, les trades sont exempts de frais de commission.

6. Les rendements seront distribués de manière lognormale

La plupart des actifs qui offrent des options auront des rendements qui sont approximativement lognormaux, mais pas précisément.

Cette hypothèse ne fausse généralement pas les résultats du modèle.

Cadre mathématique du modèle de Black et Scholes

Les prix théoriques d'une option d'achat, C, et d'une option de vente, P, peuvent être déterminés comme suit :

• C = S * N * (d1) - K * e^(-rt) * N * (d2)

• P = K * e^(-rt) - N * (-d2) - S * N * (-d1)

Les sous-variables d1 et d2 sont définies comme suit :

• d1 = [ln(S / K) + (r + sigma^2 / 2) * t] / (sigma * √t)

• d2 = d1 - sigma * √t

Où :

• N = fonction de distribution normale cumulative

• S = prix de l'action

• K = prix d'exercice de l'option

• r = taux d'intérêt sans risque

• t = temps jusqu'à l'échéance (1 = un an)

• sigma = volatilité des rendements boursiers exprimée en écart-type

• ln = logarithme naturel

• e^ = base du logarithme naturel à la puissance de (c'est-à-dire 2,71828^(...))

Les variables d1 et d2 sont définies comme leurs propres équations et sont intégrées ultérieurement dans le modèle pour faciliter la compréhension de la procédure standard.

La fonction de distribution normale cumulative de d1 représente un changement du prix de l'actif sous-jacent.

La fonction de distribution normale cumulative de d2 représente la probabilité ajustée au risque qu'une option soit exercée.

Lorsque d1 est multiplié par le prix de l'action, S, cela représente l'avantage d'acheter le sous-jacent sous sa forme naturelle (c'est-à-dire acheter l'action), plutôt que d'opter pour l'option.

Le Ke^(-rt)*N(d2) fournit la valeur actuelle du paiement du prix d'exercice au moment de l'expiration de l'option.

Pour les options d'achat, la valeur de marché appropriée est donc fonction de l'avantage que représente l'achat de l'action moins la valeur actuelle du paiement du prix d'exercice à l'expiration de l'option.

Pour les options de vente, l'équation de l'option d'achat est multipliée par un négatif (puisque les options de vente vont dans la direction opposée).

En outre, nous changeons le signe de d1 et d2 en négatif, étant donné que les options de vente vont dans le sens de la baisse du prix d'un actif.

Pour créer notre modèle financier, nous devons définir chacune des fonctions ci-dessus dans chaque programme.

Cela signifie que nous aurons quatre équations : une pour d1, une pour d2, une pour C (prix de l'option d'achat) et une pour P (prix de l'option de vente).

Nous définirons chacune de nos entrées individuellement dans R. Nous passerons en revue chaque application individuellement en commençant par R.

Nous inclurons également la manière la plus simple de coder Black-Scholes dans MATLAB (GNU Octave est la version libre et gratuite).

Modélisation de Black-Scholes en R

Il existe plusieurs façons de modéliser Black-Scholes dans R. Certains opteront pour la commande function(), mais la méthode ci-dessous nous semble beaucoup plus simple et directe.

Tout d'abord, nous devons définir chacune de nos variables pour l'option que nous évaluons, S, K, r, t et sigma. Nous ne disposons que de simples exemples.

Nous avons défini l'échéance à un mois (ou un douzième d'année). Pour plus de précision, ce délai pourrait également être défini sur la base du nombre spécifique de jours jusqu'à l'échéance (par exemple, 30/365).

Enfin, nous définissons d1, d2, C et P.

L'écriture de C seul dans une ligne de code fournira la valeur de l'objet de ce nom.

Dans ce cas, il s'agit bien sûr du prix de l'option d'achat.

Il en va de même pour le prix de l'option de vente, P. En écrivant P sur sa propre ligne, vous obtiendrez la valeur/prime de l'option de vente.

S <- 100

K <- 95

r <- 0.05

t <- 1/12

sigma <- 0.25

d1 <- ((log(S/K)+(r+sigma^2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)))
d2 <- d1-sigma*sqrt(t)

C <- S*pnorm(d1,0,1)-K*exp(-1*r*t)*pnorm(d2,0,1)
C

P <- K*exp(-1*r*t)*pnorm(-d2)-S*pnorm(-d1)
P

Modélisation Black-Scholes en MATLAB/Octave

La structure du code pour MATLAB est similaire à celle qui peut être utilisée pour R.

Ici, nous définissons le modèle Black-Scholes à l'aide de la commande "function", en incluant nos sorties entre parenthèses séparées par des virgules, suivies de nos entrées entre parenthèses et séparées par des virgules de l'autre côté du signe égal.

Une fois que d1, d2, C et P sont définis, nous pouvons "terminer" notre fonction.

Nous pouvons écrire les formules de la même manière que dans R.

Cependant, étant donné que pnorm() est exclusif à R, nous devons utiliser la fonction normcdf(), qui représente la fonction de distribution normale cumulative.

fonction (C, P) = BSM(S, K, r, t, sigma)

d1 = ((log(S/K)+(r+sigma^2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)))
d2 = d1-sigma*sqrt(t)

C = S*normcdf(d1)-K*exp(-r*t)*normcdf(d2)
P = K*exp(-r*t)*normcdf(-d2)-S*normcdf(-d1)

Pour appeler la fonction afin d'obtenir nos réponses, nous pouvons taper ce qui suit dans la fenêtre de commande :

[ C, P ] = BSM( 100, 95, 0.05, 1/12, 0.25 )

C =

P =

Note that you can also use alternative names for C and P in the command window. For instance, you could write:

[ Call, Put ] = BSM( 100, 95, 0.05, 1/12, 0.25 )

Call =

Put =

Si l'ordre est maintenu par rapport à la façon dont la fonction a été écrite précédemment, les sorties correctes seront données même si "C" et "P" reçoivent des noms totalement non pertinents du point de vue lexical, tels que Chat et Chien.

Conclusion

Le modèle de Black-Scholes est l'un des modèles financiers les plus précis - et donc l'un des plus courants - pour évaluer les options d'achat et de vente sur une action sous-jacente.

Il existe plusieurs logiciels permettant de modéliser ce modèle.

Excel est le plus courant dans l'industrie financière, tandis que R et MATLAB sont plus courants dans les travaux universitaires, les analyses statistiques, la création de graphiques ou parmi les quants qui ont besoin d'effectuer des analyses plus sophistiquées que ce que les feuilles de calcul peuvent généralement offrir.

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