#1 14-02-2024 15:12:23

Climax

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La théorie des mesures dans la finance et le trading

La théorie des mesures est une branche des mathématiques qui étudie les moyens de généraliser les notions d'intégration, de longueur, de surface et de volume.

Elle est utilisée dans la théorie des probabilités et, par extension, elle revêt une importance fondamentale dans les domaines de la finance et de la négociation, qui sont essentiellement des exercices de probabilités appliquées.

Dans ces domaines, la théorie de la mesure sous-tend les modèles mathématiques utilisés pour fixer le prix des instruments financiers, gérer les risques et élaborer des stratégies de trading.

Principaux enseignements :

Quantifier l'incertitude

• La théorie des mesures fournit un cadre mathématique permettant de quantifier et de gérer les inconnues sur les marchés financiers.

• Les traders peuvent évaluer les probabilités de divers résultats.

Fondement de la finance moderne

• La théorie des mesures est à la base des théories financières modernes, y compris la gestion des risques et l'évaluation des produits dérivés, car elle permet de calculer des intégrales et des probabilités sur des instruments financiers complexes.

Amélioration de l'évaluation des risques

• En appliquant la théorie des mesures, les traders peuvent modéliser plus précisément le risque et le rendement des titres.

• Améliore l'optimisation des portefeuilles et l'évaluation des produits dérivés grâce à une analyse probabiliste plus sophistiquée.

Théorie des mesures Applications en finance et trading

Gestion des risques

La théorie des mesures est essentielle pour quantifier les risques sur les marchés financiers.

Le concept de mesure permet de calculer les probabilités de divers résultats, y compris les événements extrêmes.

Ceci est particulièrement important dans les calculs de la valeur à risque (VaR) et pour la gestion du risque de queue dans les portefeuilles.

Modèles d'évaluation des options

Le célèbre modèle de Black-Scholes et d'autres modèles d'évaluation des options reposent sur la théorie des mesures.

Plus précisément, le changement de mesure (théorème de Girsanov) permet d'évaluer les produits dérivés dans le cadre de la mesure risque-neutre.

Dans le cadre de la mesure risque-neutre, le rendement attendu de l'actif sous-jacent est le taux sans risque, ce qui facilite le calcul de la valeur actuelle des gains attendus.

Processus stochastiques

La théorie des mesures constitue la base de la compréhension des processus stochastiques, qui modélisent l'évolution aléatoire des prix dans le temps.

Elle est essentielle pour définir et analyser correctement les processus à temps continu tels que le mouvement brownien et les martingales.

Ces processus sont utilisés en mathématiques financières pour modéliser la dynamique des prix et pour la théorie des prix d'arbitrage.

Optimisation des portefeuilles

Dans l'optimisation des portefeuilles, la théorie des mesures est utilisée pour modéliser les distributions de rendement des actifs.

Cela permet de calculer les rendements attendus, les variances et les covariances en fonction de différentes mesures.

Ces mesures sont importantes pour construire des portefeuilles efficaces dans le cadre de l'optimisation moyenne-variance ou des mesures de risque plus avancées comme la CVaR (valeur conditionnelle à risque).

Comment les traders peuvent utiliser la théorie des mesures

Stratégies de trading quantitatif

Les traders peuvent appliquer la théorie des mesures au développement de stratégies de trading algorithmiques basées sur des modèles probabilistes de mouvements de prix.

En comprenant les mesures sous-jacentes, les traders peuvent mieux évaluer la probabilité de certaines conditions économiques ou de marché et s'en servir pour affiner leurs stratégies.

Rendements ajustés au risque

La théorie des mesures permet aux opérateurs de calculer et d'analyser plus précisément les rendements ajustés au risque.

En comprenant la distribution des rendements selon différentes mesures, les traders peuvent prendre de meilleures décisions qui tiennent compte du risque de leurs investissements/positions/flux de rendement.

Couverture du risque de queue

L'application de la théorie des mesures permet aux traders d'identifier et de couvrir les risques de queue - des événements rares mais catastrophiques qui peuvent entraîner des pertes importantes.

En analysant la mesure des queues des distributions de rendement, les traders peuvent mettre en œuvre des stratégies pour protéger leurs portefeuilles contre les risques extrêmes de baisse (par exemple, meilleure diversification, couverture, équilibrage des risques).

Couverture dynamique

Pour les traders d'options, la théorie des mesures est essentielle aux stratégies de couverture dynamique, qui consistent à ajuster en permanence les positions sur l'actif sous-jacent pour se couvrir contre les mouvements de prix de l'option.

Le cadre théorique fourni par la théorie des mesures permet de calculer le ratio de couverture (delta, le plus souvent, suivi de gamma et d'autres "Grecs") dans le cadre d'une modélisation en temps continu.

Exemple de codage

L'application de la théorie des mesures à l'optimisation de portefeuille implique la quantification et la gestion des distributions probabilistes des rendements et des risques.

Dans cet exemple simplifié, nous allons optimiser un portefeuille composé d'actions, d'obligations, de matières premières et d'or - un portefeuille que nous avons utilisé comme exemple dans de nombreux autres articles - sur la base de leurs rendements à terme attendus et de leur volatilité annualisée, en supposant des rendements non corrélés pour plus de simplicité.

• Actions : Rendement à terme de +3-8 %, volatilité annualisée de 15 % en utilisant l'écart-type

• Obligations : Rendement à terme de +1-5 %, volatilité annualisée de 10 % en utilisant l'écart-type

• Matières premières : +0-4% de rendement à terme, 15% de volatilité annualisée en utilisant l'écart-type

• Or : +1-6% de rendement à terme, 15% de volatilité annualisée en utilisant l'écart-type

Nous utiliserons Python pour calculer la répartition optimale du portefeuille qui maximise le rendement attendu pour un niveau de risque donné.

Cet exemple n'ira pas très loin dans la théorie des mesures sur le plan mathématique, mais montrera comment traiter les rendements et les volatilités dans le contexte d'un portefeuille.

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# Rendement attendu (point médian de la fourchette de rendement à terme)
expected_returns = np.array([0.055, 0.03, 0.02, 0.035]) # Stocks, Bonds, Commodities, Gold

# Volatilité annualisée (écart-type)
volatility = np.array([0.15, 0.1, 0.15, 0.15])

# Taux sans risque pour le calcul du ratio de Sharpe, supposé être de 1%.
risk_free_rate = 0.01

# Fonction de variance du portefeuille (simplifiée en raison de la non-corrélation des rendements)
def portfolio_variance(weights):
return np.dot(weights**2, volatility**2)

# Fonction objective : ratio de Sharpe négatif (à maximiser)
def objective(weights):
portfolio_return = np.dot(weights, expected_returns)
portfolio_vol = np.sqrt(portfolio_variance(weights))
sharpe_ratio = (portfolio_return - risk_free_rate) / portfolio_vol
return -sharpe_ratio # Negative because we minimize the function

# Contraintes : la somme des poids est égale à 1
constraints = ({'type': 'eq', 'fun': lambda weights: np.sum(weights) - 1})

# Limites pour les poids (pas de vente à découvert)
bounds = ((0, 1), (0, 1), (0, 1), (0, 1))

# Estimation initiale (répartition égale)
init_guess = np.array([0.25, 0.25, 0.25, 0.25])

# Optimisation du portefeuille
opt_results = minimize(objective, init_guess, method='SLSQP', bounds=bounds, constraints=constraints)

print("Optimal Weights:", opt_results.x)
print("Expected Portfolio Return:", np.dot(opt_results.x, expected_returns))
print("Portfolio Volatility:", np.sqrt(portfolio_variance(opt_results.x)))

Voici les résultats :

• Actions : 36%

• Obligations : 36%

• Matières premières : 8%

• Or : 20%

Principaux enseignements

• Fonction objectif - Le ratio de Sharpe est utilisé comme objectif à maximiser (nous minimisons donc sa valeur négative). Il tient compte à la fois des rendements et de la volatilité, et vise le rendement le plus élevé par unité de risque.

• Contraintes et limites - S'assurer que l'ensemble du portefeuille est investi (la somme des pondérations est égale à 1) sans vente à découvert (les pondérations sont non négatives).

• Résultat de l'optimisation - La répartition optimale entre les actions, les obligations, les matières premières et l'or qui maximise le ratio de Sharpe du portefeuille, qui indique le meilleur rendement ajusté au risque compte tenu des hypothèses, est générée.

Cette approche n'approfondit pas les aspects théoriques de la théorie de la mesure, mais elle en utilise les principes en optimisant le portefeuille sur la base des mesures quantifiées des rendements et des risques.

Conclusion

La théorie des mesures fournit les fondements mathématiques de la gestion des risques, de la tarification des produits dérivés et de l'optimisation des portefeuilles.

Ses concepts permettent aux traders et aux analystes financiers de modéliser et de comprendre les complexités des marchés financiers d'une manière mathématiquement rigoureuse.

L'application pratique de la théorie des mesures au trading nécessite non seulement un solide bagage mathématique, mais aussi une compréhension approfondie des marchés et des instruments financiers.

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