#1 20-08-2023 18:50:54

Climax

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Techniques mathématiques dans les marchés financiers

La finance est un terrain propice à l'application de techniques mathématiques sophistiquées.

Qu'il s'agisse de stratégies de trading et d'investissement, d'évaluation des risques ou de prévision des mouvements du marché, les mathématiques sont à la base d'un large éventail d'outils et de méthodes financières.

Nous abordons ici les différentes techniques mathématiques utilisées sur les marchés financiers.

• Les mathématiques dans la finance : La finance professionnelle fait souvent appel à des techniques mathématiques avancées, allant des stratégies de trading à l'évaluation des risques et aux prévisions de marché.

• Théorie moderne du portefeuille (TMP) : la TMP est l'un des cadres mathématiques les plus populaires. Elle cherche à maximiser les rendements pour un niveau de risque donné en utilisant l'analyse de la variance et de la covariance. Elle permet de créer des portefeuilles efficaces en optimisant le couple risque-rendement.

• Autres outils mathématiques divers : De l'analyse en composantes principales à la programmation non linéaire, en passant par l'apprentissage automatique et les algorithmes génétiques, diverses méthodes mathématiques aident les professionnels de la finance à optimiser leurs portefeuilles, à prévoir les tendances du marché et à gérer les risques de manière efficace.

La théorie moderne du portefeuille

La théorie moderne du portefeuille (TMP) est une approche et un modèle mathématique utilisés sur les marchés financiers.

La TMP est un cadre permettant d'assembler un portefeuille d'actifs de manière à maximiser le rendement attendu pour un niveau de risque donné.

Elle s'appuie sur les mesures statistiques de la variance et de la covariance et fournit une mesure quantifiée du risque et du rendement des investissements.

Grâce à la TMP, les investisseurs peuvent obtenir un portefeuille d'investissement plus efficace, c'est-à-dire un portefeuille dont le rendement attendu est le plus élevé possible pour un niveau de risque donné.

Programmation quadratique et méthode de la ligne critique

La programmation quadratique est un type de modèle mathématique d'optimisation.

Elle traite des problèmes où la fonction objectif et les contraintes sont linéaires, mais où la fonction objectif est une fonction quadratique.

En finance, la programmation quadratique peut être utilisée pour résoudre des problèmes d'optimisation de portefeuille dans le cadre de la TPM.

La méthode de la ligne critique est un algorithme spécifique pour résoudre ces problèmes de programmation quadratique.

Elle consiste à déterminer les points (lignes critiques) où le compromis entre le rendement attendu et le risque change.

Programmation non linéaire

La programmation non linéaire implique la minimisation ou la maximisation d'une fonction objective non linéaire soumise à des contraintes non linéaires.

Elle est utilisée sur les marchés financiers pour des modèles complexes où la relation entre les variables n'est pas linéaire.

Par exemple, elle peut modéliser la relation non linéaire entre les prix des obligations et les taux d'intérêt ou entre les prix des options et d'autres variables.

Programmation en nombres entiers mixtes

La programmation en nombres entiers mixtes (MIP) implique des problèmes où certaines variables doivent prendre des valeurs entières.

Dans le contexte des marchés financiers, la programmation en nombres entiers mixtes peut être utilisée pour des problèmes d'optimisation de portefeuille où certains investissements ne peuvent être réalisés que par unités entières.

Par exemple, il n'est traditionnellement pas possible d'acheter la moitié d'une action ou la moitié d'une obligation (bien que, bien sûr, l'investissement en actions fractionnées soit aujourd'hui courant). Le modèle MIP permet de modéliser et de résoudre ce type de problèmes.

Il peut également s'appliquer à d'autres domaines, comme les entreprises qui achètent des actions par multiples de 100 afin de minimiser les coûts de transaction.

Programmation stochastique et optimisation de portefeuille en plusieurs étapes

La programmation stochastique est un cadre permettant de modéliser les problèmes d'optimisation qui impliquent des inconnues.

La programmation stochastique peut être utilisée pour l'optimisation de portefeuilles en plusieurs étapes, où les décisions d'investissement sont prises sur plusieurs périodes avec une incertitude sur les rendements futurs.

Grâce à cette méthode, un portefeuille peut être conçu de manière à obtenir de bonnes performances dans une variété de scénarios futurs potentiels.

Copule en théorie des probabilités

Les copules sont utilisées en finance pour modéliser la dépendance entre des variables aléatoires.

Elles nous permettent de séparer les distributions marginales des actifs individuels de leur structure de dépendance.

Cela peut être particulièrement utile sur les marchés financiers lorsque l'on souhaite modéliser la probabilité d'événements extrêmes tels que des crises financières ou des guerres.

Exemple d'application

Imaginons deux actions : bien que chacune ait sa propre tendance de prix (distribution marginale), leurs prix peuvent souvent augmenter ou diminuer ensemble.

La copule permet de saisir ce mouvement conjoint.

Par exemple, lors d'une crise financière, si les actions ont tendance à s'effondrer simultanément, la copule permet de quantifier cette probabilité de chute conjointe, ce qui facilite les stratégies de gestion des risques.

Analyse en composantes principales

L'analyse en composantes principales (ACP) est une procédure statistique qui utilise une transformation orthogonale pour convertir un ensemble d'observations de variables éventuellement corrélées en un ensemble de variables linéairement non corrélées appelées composantes principales.

En finance, l'ACP peut être utilisée pour la gestion des risques et la construction de portefeuilles.

Par exemple, l'ACP peut être utilisée pour réduire la dimensionnalité d'un grand ensemble d'actifs financiers, ce qui facilite la gestion et la compréhension du rapport risque/rendement.

Par exemple, un trader peut constater que 90 % de la variance de son portefeuille est due aux variations de la croissance actualisée, de l'inflation actualisée, des primes de risque et des taux d'actualisation.

Bien qu'il puisse y avoir de très nombreuses autres influences, l'ACP peut aider à comprendre où se situe le poids le plus important.

En savoir plus : Les 4 principales variables qui influencent l'évaluation des actifs financiers

Optimisation globale déterministe

L'optimisation globale déterministe consiste à trouver la meilleure solution à un problème, plutôt qu'une solution optimale locale.

Dans le contexte de la finance, cela peut s'appliquer à l'optimisation des portefeuilles d'investissement ou de négociation.

Les méthodes d'optimisation globale déterministe donnent l'assurance que le meilleur portefeuille possible a été trouvé dans un espace de recherche donné.

Algorithme génétique

Les algorithmes génétiques sont un type d'algorithme d'optimisation qui imite le processus d'évolution naturelle.

En finance, les algorithmes génétiques peuvent être utilisés pour optimiser les règles de négociation ou la répartition des portefeuilles.

Ils fonctionnent en créant une population de solutions possibles et en faisant évoluer cette population au fil du temps par un processus de sélection, de croisement et de mutation.

L'apprentissage automatique

L'apprentissage automatique implique l'utilisation d'algorithmes qui permettent aux ordinateurs d'apprendre et de prendre des décisions ou de faire des prédictions sur la base de données.

En finance, les techniques d'apprentissage automatique peuvent être utilisées pour une série d'applications telles que la prédiction des cours boursiers, l'identification des fraudes ou le trading algorithmique.

Les modèles d'apprentissage automatique peuvent détecter des modèles dans de grands ensembles de données qu'il serait difficile ou impossible de trouver manuellement.

Réseau de neurones artificiels

Les réseaux neuronaux artificiels (RNA) sont un type de modèle d'apprentissage automatique conçu pour simuler le fonctionnement du cerveau humain.

Dans le contexte de la finance, les réseaux neuronaux artificiels peuvent être utilisés pour des tâches telles que la prédiction des prix futurs des actions ou l'identification de modèles dans les données financières.

Les RNA sont particulièrement utiles pour modéliser des relations non linéaires complexes que les méthodes statistiques traditionnelles pourraient avoir du mal à traiter.

Programmation mathématique étendue

La programmation mathématique étendue (PME) est un langage de modélisation mathématique qui étend la programmation mathématique traditionnelle.

Il permet de représenter l'incertitude et la non-linéarité de manière plus flexible.

En finance, la PEM peut être utilisée pour modéliser des instruments financiers complexes et des stratégies d'investissement.

FAQ - Techniques mathématiques dans les marchés financiers

Quelles sont les techniques mathématiques en finance ?

• Théorie moderne du portefeuille (TMP) : Modèle qui maximise le rendement attendu pour un niveau de risque donné en utilisant la variance et la covariance. Il aide les traders/investisseurs à créer des portefeuilles efficaces.

• Programmation quadratique et méthode de la ligne critique : Un modèle d'optimisation mathématique utilisé pour résoudre les problèmes de portefeuille dans le cadre de la TPM en déterminant les points où le compromis rendement-risque change.

• Programmation non linéaire : Traite de l'optimisation de fonctions objectives non linéaires soumises à des contraintes non linéaires, utile pour des relations complexes telles que celles entre les prix des obligations et les taux d'intérêt ou entre le temps et les prix des options.

• Programmation en nombres entiers mixtes (MIP) : S'attaque aux problèmes où les variables doivent être des nombres entiers, par exemple la modélisation d'investissements qui ne peuvent être réalisés qu'en unités entières.

• Programmation stochastique et optimisation de portefeuille en plusieurs étapes : Modélise les problèmes d'optimisation avec des inconnues, ce qui permet de concevoir des portefeuilles performants dans des scénarios futurs incertains.

• Copule dans la théorie des probabilités : Modélise la dépendance entre les variables aléatoires, utile pour modéliser les événements extrêmes sur les marchés financiers.

• Analyse en composantes principales (ACP) : Réduit la dimensionnalité de grands ensembles de données pour comprendre et gérer les compromis risque-rendement en finance.

• Optimisation globale déterministe : Trouve la meilleure solution absolue à un problème financier, en garantissant le portefeuille optimal dans un certain "espace de recherche".

• Algorithme génétique : Algorithme d'optimisation imitant l'évolution naturelle, appliqué en finance pour optimiser les règles de négociation ou la répartition des portefeuilles.

• Apprentissage automatique : Utilise des algorithmes pour prendre des décisions ou faire des prédictions sur la base de données, avec des applications dans la prédiction de diverses variables financières.

• Réseau neuronal artificiel (RNA) : Simule les processus du cerveau humain, utile en finance pour prédire certaines données financières et identifier des modèles de données complexes.

• Programmation mathématique étendue (PME) : Extension de la programmation mathématique traditionnelle, permettant de représenter de manière flexible les inconnues et la non-linéarité en finance.

Qu'est-ce que l'analyse en composantes principales (ACP) et quel est un exemple d'application ?

L'analyse en composantes principales (ACP) est une méthode statistique utilisée pour réduire la dimensionnalité de grands ensembles de données, tout en préservant autant de variance que possible.

En finance, l'ACP est couramment utilisée pour analyser et interpréter de grands ensembles de données, comme les rendements d'un large éventail d'actifs.

En réduisant ces ensembles de données en un nombre plus restreint de composantes principales, les analystes peuvent identifier les principales sources de risque et de rendement d'un portefeuille.

Exemple

Prenons l'exemple d'un gestionnaire de portefeuille qui supervise des centaines d'actions.

En utilisant l'ACP, il pourrait découvrir que la majorité de la volatilité du portefeuille peut être expliquée par seulement quelques composantes principales, telles que les risques à l'échelle du marché, les mouvements sectoriels et les variations de taux d'intérêt.

Cette découverte contribue à la diversification du portefeuille et à la gestion des risques, car le gestionnaire peut se concentrer sur ces composantes principales plutôt que d'analyser les mouvements de chaque action.

Conclusion

Les techniques mathématiques présentées dans cet article offrent des outils pour comprendre, naviguer et tirer profit de la complexité des marchés financiers.

Les techniques mathématiques utilisées pour les modéliser et les comprendre évolueront en même temps que les marchés.

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Le trading de CFD implique un risque de perte significatif, il ne convient donc pas à tous les investisseurs. 74 à 89% des comptes d'investisseurs particuliers perdent de l'argent en négociant des CFD.