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Climax

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Méthodes numériques en finance

Les méthodes numériques en finance sont des techniques de calcul utilisées pour résoudre les problèmes mathématiques qui se posent dans la modélisation financière.

Ces méthodes sont importantes car de nombreux modèles financiers conduisent à des équations qui :

• ne peuvent pas être résolues analytiquement, ou

• nécessitent une simulation pour la prédiction et l'évaluation des risques.

Ces méthodes sont utilisées dans divers domaines tels que l'évaluation des options, la gestion des risques, l'optimisation des portefeuilles et le trading algorithmique.

Principaux enseignements

• Les méthodes numériques permettent d'évaluer avec précision des instruments financiers complexes tels que les produits dérivés. Elles aident les traders à fixer les prix et à évaluer les risques lorsque les solutions analytiques ne sont pas réalisables.

• Les simulations de Monte Carlo et les méthodes de différences finies sont essentielles pour modéliser les inconnues du marché et les mouvements de prix des actifs.

• Les algorithmes d'optimisation et l'analyse des séries chronologiques aident les traders à optimiser leur portefeuille et à prévoir les tendances du marché.

• Aide aux stratégies de trading et d'investissement et à la gestion des risques.

Voici quelques méthodes numériques clés appliquées à la finance et au trading :

Simulations de Monte Carlo

La simulation de Monte Carlo est utilisée pour modéliser la probabilité de différents résultats dans un processus qui ne peut pas être facilement prédit en raison de l'intervention de variables aléatoires.

Elle est largement utilisée pour l'évaluation des options, la gestion des risques et pour évaluer l'impact du risque et de l'incertitude dans les modèles de prédiction et de prévision.

Méthodes de différences finies

Employées pour résoudre des équations différentielles, telles que celles trouvées dans le modèle de Black-Scholes pour l'évaluation des options.

Elles sont utilisées pour calculer approximativement le prix des produits dérivés et sont particulièrement utiles pour les options américaines, qui peuvent être exercées à tout moment avant l'expiration.

Modèles d'arbre binomial et trinomial

Il s'agit de modèles à temps discret pour l'évaluation des options.

Ils divisent le temps en intervalles discrets et modélisent les mouvements de prix possibles à chaque étape, formant une structure arborescente.

Cette méthode est utile pour les options américaines (en raison du potentiel d'exercice anticipé).

Monte-Carlo des moindres carrés (LSMC)

Approche utilisée dans l'évaluation des options américaines et d'autres dérivés financiers, où les techniques de simulation et de régression sont combinées pour estimer l'espérance de gain conditionnelle de l'option.

Quasi-Monte Carlo

Les méthodes de Quasi-Monte Carlo utilisent des séquences de faible discrépance* pour obtenir une convergence plus rapide et plus uniforme que les simulations Monte Carlo traditionnelles en échantillonnant systématiquement l'espace.

*Les séquences à faible discrépance sont des ensembles de points uniformément répartis. Elles minimisent les écarts pour une intégration numérique efficace.

Chaîne de Markov Monte Carlo (MCMC)

Les techniques de Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC) génèrent des échantillons à partir d'une distribution de probabilité basée sur la construction d'une chaîne de Markov dont la distribution d'équilibre est la distribution souhaitée.

Algorithmes d'optimisation

Ils comprennent la programmation linéaire et non linéaire, la programmation quadratique et les algorithmes évolutionnaires tels que les algorithmes génétiques (c'est-à-dire les algorithmes métaheuristiques/métaheuristiques).

Ils sont utilisés dans l'optimisation des portefeuilles et dans la construction d'algorithmes de négociation pour maximiser les rendements ou minimiser les risques.

Analyse des séries temporelles

Des méthodes comme ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) et d'autres modèles économétriques sont utilisés pour analyser et prévoir les données de séries temporelles financières.

Algorithmes d'apprentissage automatique

Les algorithmes tels que les réseaux neuronaux, les arbres de décision et les méthodes d'ensemble sont de plus en plus utilisés pour prédire les marchés financiers et pour le trading algorithmique.

Des techniques telles que la classification et le regroupement sont utilisées pour la modélisation prédictive dans le trading algorithmique, la détection des fraudes et la segmentation de la clientèle.

Modèles de treillis

Ils sont utilisés pour l'évaluation des options, où le prix de l'actif sous-jacent peut évoluer vers l'une des deux (binomiales) ou trois (trinomiales) valeurs possibles à chaque pas de temps, formant ainsi un treillis.

Discretise le temps et le prix de l'actif sous-jacent.

Régression quantile

La régression quantile estime la médiane ou d'autres quantiles d'une variable de réponse (c'est-à-dire qu'elle analyse les données au-delà de la moyenne).

Peut être utilisée pour la gestion des risques et l'analyse des rendements des actifs.

Analyse des options réelles

Il s'agit d'appliquer les méthodes de tarification des options pour évaluer des investissements réels, tels que des projets ou des entreprises, pour lesquels les décideurs disposent de plusieurs choix dans le temps.

Méthodes de bootstrap

Utilisées pour dériver la distribution d'un estimateur par rééchantillonnage avec remplacement à partir des données.

Utile pour estimer la courbe de rendement des titres à revenu fixe, par exemple.

Méthodes de transformation de Fourier

Utilisées pour évaluer les options et autres produits dérivés en transformant les équations différentielles en une forme plus facile à résoudre.

Analyse en composantes principales (ACP)

Technique statistique utilisée pour simplifier la complexité des données à haute dimension.

Pour ce faire, elle les transforme en un ensemble de variables linéairement non corrélées (composantes principales).

Utilisée dans la gestion des risques et la diversification des portefeuilles.

Un exemple d'ACP serait la décomposition de la majorité des rendements des classes d'actifs macro-dirigées en variations de la croissance actualisée, de l'inflation actualisée, des taux d'actualisation et des primes de risque.

Méthodes d'Euler et de Runge-Kutta

Il s'agit de techniques numériques permettant de résoudre des équations différentielles ordinaires (ODE), qui sont courantes dans la modélisation des instruments financiers et des phénomènes économiques.

Méthodes Copula

Utilisées pour modéliser et simuler la structure de dépendance entre différents actifs financiers ou facteurs de risque.

Cette méthode est importante pour l'évaluation du risque de portefeuille et la compréhension des mouvements conjoints des prix des actifs.

Calcul stochastique

Les techniques telles que le lemme d'Ito et les équations différentielles stochastiques sont fondamentales dans la modélisation des processus aléatoires en finance, tels que les mouvements de prix des actions et les taux d'intérêt.

Techniques d'algèbre matricielle

Incluant la décomposition des valeurs propres et la décomposition des valeurs singulières, ces méthodes sont utilisées dans la construction de portefeuilles, la gestion du risque et dans certaines stratégies de trading algorithmique.

Équations différentielles partielles (EDP)

Utilisées dans la modélisation de divers instruments financiers, notamment dans la dérivation de l'équation de Black-Scholes pour l'évaluation des options.

Optimisation sous contrainte

Dans la gestion de portefeuille, les techniques d'optimisation sous contrainte (par exemple, la programmation quadratique avec contraintes) sont utilisées pour optimiser les portefeuilles sous certaines restrictions, telles que

• des limites de drawdown maximale

• des exigences de diversification minimale, ou

• des allocations minimales/maximales à des actifs spécifiques ou à des classes d'actifs.

Valeur à risque (VaR) et valeur à risque conditionnelle (CVaR)

Techniques d'évaluation du risque de perte dans les investissements et les portefeuilles.

La VaR mesure la perte maximale sur une période donnée pour un intervalle de confiance donné, tandis que la CVaR fournit une mesure de la perte attendue dépassant la VaR.

Analyse par ondelettes

Utilisée pour l'analyse de la fréquence des séries temporelles financières (en particulier pour détecter des modèles cachés dans des données bruyantes), elle est utile dans la gestion des risques et le trading algorithmique.

Réseaux neuronaux et apprentissage profond

Les réseaux neuronaux et l'apprentissage profond sont des techniques d'apprentissage automatique utilisées pour la prédiction, la classification et la reconnaissance des formes sur les marchés financiers.

Apprentissage par renforcement

Un type d'apprentissage automatique particulièrement utile pour développer des stratégies de trading autonomes, basées sur l'apprentissage et qui s'adaptent au fil du temps.

Modélisation basée sur les agents (ABM)

Utilisée pour simuler les interactions des agents (tels que les investisseurs, les négociants et les institutions) afin d'évaluer leur impact sur les marchés financiers.

Pour ceux qui conçoivent un système de trading ABM, les questions sont essentiellement les suivantes : qui sont les acheteurs, qui sont les vendeurs, quelle est leur taille, et qu'est-ce qui les motive à faire (c'est-à-dire quelles sont les influences variables et qu'est-ce qui les pousse à faire) ?

Logique floue

Employée dans les systèmes de prise de décision lorsqu'une logique précise n'est pas disponible.

Utile dans les stratégies de trading algorithmique, étant donné le large éventail d'inconnues par rapport à ce qui est connu par rapport à ce qui est actualisé dans le prix.

Analyse de survie et modèles de risque

Particulièrement pertinents dans la modélisation du risque de crédit et pour l'analyse du temps qui s'écoule jusqu'à ce qu'un événement se produise, comme une défaillance.

Théorie de la valeur extrême (EVT)

Utilisée pour modéliser et quantifier les événements de risque extrême sur les marchés financiers.

Utilisée pour les tests de résistance et la gestion des risques extrêmes.

Différenciation algorithmique (AD)

Utilisée en gestion des risques et en finance quantitative pour le calcul rapide et précis des sensibilités, également connues sous le nom de "grecques" dans l'évaluation des options.

Conclusion

Chaque méthode numérique a ses forces et ses faiblesses, et le choix d'une technique spécifique dépend de ce qui suit

• de la nature du problème financier

• de la précision requise

• des ressources informatiques

• du compromis entre vitesse et précision

Dans la pratique, une combinaison de ces méthodes est souvent utilisée pour améliorer la force et la fiabilité des modèles financiers et des stratégies de trading.

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