Options américaines et options européennes (modélisation mathématique)

La modélisation mathématique des options est très utilisée en finance.

Les options américaines et européennes sont toutes deux des types de produits financiers dérivés, mais elles diffèrent dans leurs droits d'exercice, ce qui entraîne des différences dans leur modélisation mathématique.

Examinons ces différences :

Principaux enseignements

• Les options américaines peuvent être exercées à tout moment jusqu'à l'expiration.
• En revanche, les options européennes ne peuvent être exercées qu'à l'expiration.
• La modélisation des options américaines est donc plus complexe en raison de la possibilité d'exercice anticipé.
• Le modèle Black-Scholes est prédominant pour les options européennes, car il offre une formule directe pour la fixation du prix.
• Les options américaines utilisent souvent le modèle de l'arbre binomial ou résolvent un problème de frontière libre pour tenir compte de l'exercice anticipé.
• Les deux types d'options utilisent des "grecques" pour mesurer les sensibilités, mais les valeurs peuvent différer d'une option à l'autre.
  • Par exemple, le potentiel d'exercice anticipé des options américaines peut influencer leur delta et leur thêta par rapport à leurs homologues européens.

Options européennes

Examinons les bases de la modélisation mathématique des options européennes :

Droits d'exercice

Les options européennes ne peuvent être exercées qu'à leur date d'expiration.

Cela signifie que si vous achetez une option d'achat européenne, vous ne pouvez exercer le droit d'acheter l'actif sous-jacent au prix d'exercice spécifié qu'à la date d'expiration.

Modélisation mathématique

Le modèle le plus connu pour les options européennes est le modèle Black-Scholes.

L'équation de Black-Scholes est une équation aux dérivées partielles (EDP) qui décrit l'évolution du prix de l'option.

La solution de l'EDP de Black-Scholes donne le prix de l'option en fonction du prix de l'actif sous-jacent, du temps, de la volatilité, du taux d'intérêt et du prix d'exercice.

En l'absence d'exercice anticipé, on utilise l'EDP de Black-Scholes et d'autres EDP similaires.

Alternatives à Black-Scholes

Certaines alternatives à Black-Scholes (ou servant d'alternative à la modélisation d'une certaine composante - par exemple, la volatilité) sont très répandues :

• Modèle d'arbre binomial
• Modèle d'arbre trinomial
• Simulation de Monte Carlo
• Méthodes de différences finies
• Modèle de Bachelier
• Modèle de Heston
• Modèle de Feynman-Kac
• Modèle de Cox-Ross-Rubinstein
• Modèle de Garman-Kohlhagen
• Modèle de Hull-White
• Modèle de diffusion par saut
• Modèle CEV (élasticité constante de la variance)
• Modèle GARCH (Hétéroscédasticité conditionnelle autorégressive généralisée)
• Modèle SABR
• Modèle Bates

De nombreux traders et entreprises d'investissement utilisent également leurs propres modèles.

Options américaines

Examinons maintenant les bases de la modélisation mathématique des options américaines :

Droits d'exercice

Les options américaines peuvent être exercées à tout moment jusqu'à leur date d'expiration.

Cette possibilité d'exercice anticipé rend leur évaluation plus complexe.

Modélisation mathématique

L'évaluation des options américaines est plus difficile en raison de la possibilité d'exercice anticipé.

Méthode de l'arbre binomial

Le modèle de l'arbre binomial est une méthode très répandue.

Le prix de l'actif sous-jacent est modélisé pour évoluer à la hausse ou à la baisse à chaque étape, et la valeur de l'option est déterminée à chaque nœud en tenant compte de la possibilité d'un exercice anticipé.

Le modèle de l'arbre binomial est un exemple de chaînes de Markov et d'arbres de décision en finance.

Problème de frontière libre

Une autre approche consiste à résoudre un problème de frontière libre, où la frontière représente la limite d'exercice anticipé.

Le détenteur de l'option exercera l'option lorsqu'elle sera optimale. Il est donc important de déterminer cette limite.

Méthodes des différences finies et simulations de Monte Carlo

Les méthodes des différences finies et les simulations de Monte Carlo sont également utilisées, en particulier pour les options américaines plus complexes ou lorsque l'on tient compte des dividendes.

Principales différences dans la modélisation des options américaines et européennes

• La caractéristique d'exercice anticipé des options américaines introduit une complexité supplémentaire dans leur modélisation mathématique.
• Les options européennes ont des solutions fermées comme la formule de Black-Scholes, ce qui les rend plus simples à évaluer.
• Les options américaines nécessitent souvent des méthodes numériques itératives, comme l'arbre binomial, pour tenir compte de la possibilité d'un exercice anticipé à chaque moment.

Exercice anticipé des options américaines

L'exercice anticipé des options américaines rend leur modélisation mathématique plus complexe.

En effet, à tout moment avant l'échéance, il faut décider s'il est optimal d'exercer l'option ou de la conserver.

Il est donc nécessaire d'utiliser des modèles capables de prendre en compte cette caractéristique, tels que le modèle de l'arbre binomial ou les méthodes qui traitent le problème de la frontière libre.

L'arbre binomial dans les options américaines

Le modèle de l'arbre binomial est une méthode qui décompose la durée de vie de l'option en une série d'intervalles de temps discrets.

À chaque intervalle, le prix de l'actif sous-jacent peut évoluer à la hausse ou à la baisse, créant ainsi un arbre de prix possibles.

Le modèle est particulièrement pertinent pour les options américaines car il permet d'envisager un exercice anticipé à chaque nœud de l'arbre.

Détermination de la valeur de l'option par rétrocalcul depuis l'échéance jusqu'à aujourd'hui.

Équations différentielles partielles (EDP) et évaluation des options

Les EDP sont fondamentales pour l'évaluation des options car elles décrivent l'évolution du prix de l'option en fonction des variations de l'actif sous-jacent et du temps.

L'équation de Black-Scholes, par exemple, est une EDP qui donne le prix d'une option européenne en fonction de divers paramètres.

Problème de la frontière libre dans les options américaines

Le problème de la frontière libre est important pour les options américaines car il détermine la frontière optimale d'exercice anticipé.

Cette limite représente les prix des actifs pour lesquels il devient optimal d'exercer l'option avant l'expiration.

La résolution de cette limite est essentielle pour évaluer avec précision les options américaines.

Simulations Monte Carlo dans l'évaluation des options européennes et américaines

Les simulations de Monte Carlo consistent à générer un grand nombre de trajectoires aléatoires pour le prix de l'actif sous-jacent, puis à calculer le gain de l'option pour chaque trajectoire.

En faisant la moyenne de ces gains et en les actualisant, on peut estimer le prix de l'option.

Cette méthode est flexible et peut être appliquée aux options américaines et européennes, en particulier lorsque les solutions analytiques sont difficiles à dériver.

Modélisation de la volatilité dans l'évaluation des options européennes et américaines

La volatilité représente le degré de variation du prix de l'actif sous-jacent.

Dans les modèles mathématiques des deux types d'options, la volatilité est un paramètre clé.

Une volatilité plus élevée augmente généralement la valeur de l'option - toutes choses égales par ailleurs - car elle implique une plus grande probabilité que l'option soit dans la monnaie.

Un aspect unique des options européennes est qu'elles ne peuvent pas avoir plus de valeur que les options américaines en raison de la possibilité d'exercice anticipé des options américaines.

Les dividendes dans l'évaluation des options européennes et américaines

Les dividendes diminuent la valeur des options d'achat et augmentent la valeur des options de vente.

Pour les options américaines, les dividendes attendus peuvent rendre l'exercice anticipé plus intéressant pour les options d'achat avant le versement d'un dividende.

Pour les options européennes, les dividendes sont généralement pris en compte dans le modèle Black-Scholes en ajustant le prix de l'actif sous-jacent.

Les taux d'intérêt dans l'évaluation des options européennes et américaines

Les taux d'intérêt sont un paramètre important dans les modèles d'évaluation des options.

Ils représentent la valeur temporelle de l'argent et influencent l'actualisation des paiements futurs.

Une hausse des taux d'intérêt augmente généralement la valeur des options d'achat et diminue la valeur des options de vente.

Couverture dans la tarification des options européennes et américaines

La couverture des options américaines est plus complexe en raison de la possibilité d'un exercice anticipé.

Cette imprévisibilité signifie que la stratégie de couverture doit être ajustée de manière dynamique et plus fréquemment, afin de garantir que le portefeuille reste delta-neutre ou protégé contre les mouvements de prix.

Par exemple, supposons qu'un trader suive une stratégie d'options d'achat ou de vente couvertes.

Si l'option est dans la monnaie, la transaction peut être clôturée avant la date d'expiration.

La liquidation de la position peut affecter la diversification/l'équilibre d'un portefeuille, le solde des liquidités sur le compte, etc., ce qui peut à son tour conduire à un portefeuille non optimisé, à des coûts d'intérêt, etc.

Les "grecques" dans l'évaluation des options européennes et américaines

Les "grecques" dans la tarification des options représentent la sensibilité du prix de l'option à différents facteurs :

Delta

Mesure la sensibilité du prix de l'option aux variations du prix de l'actif sous-jacent.

Il est similaire pour les options américaines et européennes, mais peut varier en raison de l'exercice anticipé des options américaines.

Gamma

Saisit le taux de variation du delta.

Il est identique pour les deux types d'options et reflète l'accélération de la variation du prix.

Vega

Indique la sensibilité à la volatilité.

Généralement similaire pour les deux types d'options, mais des nuances existent en raison des différentes dynamiques d'expiration.

Thêta

Représente la sensibilité du prix à la décroissance temporelle.

Les options américaines, en raison des droits d'exercice anticipés, peuvent avoir un profil Thêta différent.

Rho

Mesure la sensibilité aux variations des taux d'intérêt.

Bien que le comportement fondamental soit cohérent, l'ampleur peut varier entre les options américaines et européennes en raison des possibilités d'exercice anticipé.

Termes et définitions

Quelques termes et définitions concernant les options américaines, les options européennes et leur modélisation mathématique :

• Prix de l'option : Le processus de détermination de la juste valeur de marché d'une option.
• Dérivés financiers : instruments financiers dont la valeur est dérivée d'un sous-jacent : Instruments financiers dont la valeur est dérivée d'un actif ou d'un groupe d'actifs sous-jacents.
• Modèle de Black-Scholes : Modèle mathématique permettant d'évaluer les options de type européen.
• Exercice anticipé : L'action d'exercer une option avant sa date d'expiration.
• Modèle d'arbre binomial : Une méthode pour évaluer les options en modélisant de multiples résultats de prix futurs possibles.
• Équation différentielle partielle (EDP) : Une équation impliquant plusieurs variables et leurs dérivées partielles.
• Problème de frontière libre : problème d'EDP dont la frontière est inconnue et doit être déterminée dans le cadre de la solution.
• Simulation de Monte Carlo : Méthode de calcul utilisant un échantillonnage aléatoire pour estimer les résultats numériques.
• Méthodes des différences finies : Méthodes numériques permettant de résoudre des équations différentielles à l'aide d'approximations discrètes.
• Volatilité : Mesure de la variation du prix d'un instrument financier dans le temps.
• Date d'expiration : Date à laquelle un contrat d'option devient caduc.
• Prix d'exercice : Le prix prédéterminé auquel une option peut être exercée.
• Évaluation neutre à l'égard du risque : L'évaluation des produits financiers dérivés en supposant qu'il n'y a pas de préférence entre le risque et la récompense.
• Dividendes : Le prix d'exercice d'une option est déterminé en fonction de la valeur de l'option et de son prix d'exercice.
• Prime d'option : Le prix payé pour acquérir une option.
• Valeur intrinsèque : Différence entre le prix de l'actif sous-jacent et le prix d'exercice d'une option.
• Valeur temps : La partie de la prime d'une option attribuée au temps restant jusqu'à l'expiration.
• Couverture : Investir pour réduire le risque d'une évolution défavorable des prix.
• Grecs (Delta, Gamma, Véga, Thêta, Rho) : Mesure de la sensibilité du prix d'une option à différents facteurs.
• Volatilité implicite : La prévision par le marché d'un mouvement probable du prix d'un titre. Elle est déduite du prix des options.
• Opportunités d'arbitrage : Situation dans laquelle il est possible d'acheter et de vendre des actifs simultanément afin de profiter des différences de prix.
• Taux d'intérêt : Le montant facturé par les prêteurs aux emprunteurs, exprimé en pourcentage du principal.
• Actif sous-jacent : Instrument financier (par exemple, une action) sur lequel le prix d'un produit dérivé est basé.
• Option d'achat : Contrat financier donnant à son détenteur le droit, mais non l'obligation, d'acheter un actif à un prix déterminé.
• Option de vente : Contrat financier donnant au détenteur le droit, mais non l'obligation, de vendre un actif à un prix déterminé.

FAQ - Options américaines et options européennes (modélisation mathématique)

Conclusion

Bien que les deux types d'options partagent certains principes mathématiques fondamentaux, les droits d'exercice distincts des options européennes et américaines conduisent à des approches de modélisation différentes et à des complexités.