La modélisation mathématique des options est très utilisée en finance.
Les options américaines et européennes sont toutes deux des types de produits financiers dérivés, mais elles diffèrent dans leurs droits d'exercice, ce qui entraîne des différences dans leur modélisation mathématique.
Examinons ces différences :
Examinons les bases de la modélisation mathématique des options européennes :
Les options européennes ne peuvent être exercées qu'à leur date d'expiration.
Cela signifie que si vous achetez une option d'achat européenne, vous ne pouvez exercer le droit d'acheter l'actif sous-jacent au prix d'exercice spécifié qu'à la date d'expiration.
Le modèle le plus connu pour les options européennes est le modèle Black-Scholes.
L'équation de Black-Scholes est une équation aux dérivées partielles (EDP) qui décrit l'évolution du prix de l'option.
La solution de l'EDP de Black-Scholes donne le prix de l'option en fonction du prix de l'actif sous-jacent, du temps, de la volatilité, du taux d'intérêt et du prix d'exercice.
En l'absence d'exercice anticipé, on utilise l'EDP de Black-Scholes et d'autres EDP similaires.
Certaines alternatives à Black-Scholes (ou servant d'alternative à la modélisation d'une certaine composante - par exemple, la volatilité) sont très répandues :
De nombreux traders et entreprises d'investissement utilisent également leurs propres modèles.
Examinons maintenant les bases de la modélisation mathématique des options américaines :
Les options américaines peuvent être exercées à tout moment jusqu'à leur date d'expiration.
Cette possibilité d'exercice anticipé rend leur évaluation plus complexe.
L'évaluation des options américaines est plus difficile en raison de la possibilité d'exercice anticipé.
Méthode de l'arbre binomial
Le modèle de l'arbre binomial est une méthode très répandue.
Le prix de l'actif sous-jacent est modélisé pour évoluer à la hausse ou à la baisse à chaque étape, et la valeur de l'option est déterminée à chaque nœud en tenant compte de la possibilité d'un exercice anticipé.
Le modèle de l'arbre binomial est un exemple de chaînes de Markov et d'arbres de décision en finance.
Problème de frontière libre
Une autre approche consiste à résoudre un problème de frontière libre, où la frontière représente la limite d'exercice anticipé.
Le détenteur de l'option exercera l'option lorsqu'elle sera optimale. Il est donc important de déterminer cette limite.
Méthodes des différences finies et simulations de Monte Carlo
Les méthodes des différences finies et les simulations de Monte Carlo sont également utilisées, en particulier pour les options américaines plus complexes ou lorsque l'on tient compte des dividendes.
L'exercice anticipé des options américaines rend leur modélisation mathématique plus complexe.
En effet, à tout moment avant l'échéance, il faut décider s'il est optimal d'exercer l'option ou de la conserver.
Il est donc nécessaire d'utiliser des modèles capables de prendre en compte cette caractéristique, tels que le modèle de l'arbre binomial ou les méthodes qui traitent le problème de la frontière libre.
Le modèle de l'arbre binomial est une méthode qui décompose la durée de vie de l'option en une série d'intervalles de temps discrets.
À chaque intervalle, le prix de l'actif sous-jacent peut évoluer à la hausse ou à la baisse, créant ainsi un arbre de prix possibles.
Le modèle est particulièrement pertinent pour les options américaines car il permet d'envisager un exercice anticipé à chaque nœud de l'arbre.
Détermination de la valeur de l'option par rétrocalcul depuis l'échéance jusqu'à aujourd'hui.
Les EDP sont fondamentales pour l'évaluation des options car elles décrivent l'évolution du prix de l'option en fonction des variations de l'actif sous-jacent et du temps.
L'équation de Black-Scholes, par exemple, est une EDP qui donne le prix d'une option européenne en fonction de divers paramètres.
Le problème de la frontière libre est important pour les options américaines car il détermine la frontière optimale d'exercice anticipé.
Cette limite représente les prix des actifs pour lesquels il devient optimal d'exercer l'option avant l'expiration.
La résolution de cette limite est essentielle pour évaluer avec précision les options américaines.
Les simulations de Monte Carlo consistent à générer un grand nombre de trajectoires aléatoires pour le prix de l'actif sous-jacent, puis à calculer le gain de l'option pour chaque trajectoire.
En faisant la moyenne de ces gains et en les actualisant, on peut estimer le prix de l'option.
Cette méthode est flexible et peut être appliquée aux options américaines et européennes, en particulier lorsque les solutions analytiques sont difficiles à dériver.
La volatilité représente le degré de variation du prix de l'actif sous-jacent.
Dans les modèles mathématiques des deux types d'options, la volatilité est un paramètre clé.
Une volatilité plus élevée augmente généralement la valeur de l'option - toutes choses égales par ailleurs - car elle implique une plus grande probabilité que l'option soit dans la monnaie.
Un aspect unique des options européennes est qu'elles ne peuvent pas avoir plus de valeur que les options américaines en raison de la possibilité d'exercice anticipé des options américaines.
Les dividendes diminuent la valeur des options d'achat et augmentent la valeur des options de vente.
Pour les options américaines, les dividendes attendus peuvent rendre l'exercice anticipé plus intéressant pour les options d'achat avant le versement d'un dividende.
Pour les options européennes, les dividendes sont généralement pris en compte dans le modèle Black-Scholes en ajustant le prix de l'actif sous-jacent.
Les taux d'intérêt sont un paramètre important dans les modèles d'évaluation des options.
Ils représentent la valeur temporelle de l'argent et influencent l'actualisation des paiements futurs.
Une hausse des taux d'intérêt augmente généralement la valeur des options d'achat et diminue la valeur des options de vente.
La couverture des options américaines est plus complexe en raison de la possibilité d'un exercice anticipé.
Cette imprévisibilité signifie que la stratégie de couverture doit être ajustée de manière dynamique et plus fréquemment, afin de garantir que le portefeuille reste delta-neutre ou protégé contre les mouvements de prix.
Par exemple, supposons qu'un trader suive une stratégie d'options d'achat ou de vente couvertes.
Si l'option est dans la monnaie, la transaction peut être clôturée avant la date d'expiration.
La liquidation de la position peut affecter la diversification/l'équilibre d'un portefeuille, le solde des liquidités sur le compte, etc., ce qui peut à son tour conduire à un portefeuille non optimisé, à des coûts d'intérêt, etc.
Les "grecques" dans la tarification des options représentent la sensibilité du prix de l'option à différents facteurs :
Mesure la sensibilité du prix de l'option aux variations du prix de l'actif sous-jacent.
Il est similaire pour les options américaines et européennes, mais peut varier en raison de l'exercice anticipé des options américaines.
Saisit le taux de variation du delta.
Il est identique pour les deux types d'options et reflète l'accélération de la variation du prix.
Indique la sensibilité à la volatilité.
Généralement similaire pour les deux types d'options, mais des nuances existent en raison des différentes dynamiques d'expiration.
Représente la sensibilité du prix à la décroissance temporelle.
Les options américaines, en raison des droits d'exercice anticipés, peuvent avoir un profil Thêta différent.
Mesure la sensibilité aux variations des taux d'intérêt.
Bien que le comportement fondamental soit cohérent, l'ampleur peut varier entre les options américaines et européennes en raison des possibilités d'exercice anticipé.
Quelques termes et définitions concernant les options américaines, les options européennes et leur modélisation mathématique :
La principale différence entre les options américaines et européennes réside dans leurs droits d'exercice.
Les options américaines peuvent être exercées à tout moment jusqu'à leur date d'expiration, alors que les options européennes ne peuvent être exercées qu'à leur date d'expiration.
Le modèle de Black-Scholes est spécifiquement utilisé pour les options européennes parce qu'il fournit une solution fermée pour les options qui ne peuvent être exercées qu'à l'expiration.
Étant donné que les options européennes ne comportent pas de possibilité d'exercice anticipé, le modèle simplifie leur évaluation au moyen d'une formule directe.
Non, les options européennes ne peuvent pas avoir plus de valeur que leurs homologues américaines.
En effet, les options américaines offrent une plus grande flexibilité grâce à l'option d'exercice anticipé.
Dans le meilleur des cas, lorsque l'exercice anticipé ne présente aucun avantage, la valeur de l'option européenne est égale à celle de l'option américaine.
La modélisation des options américaines demande beaucoup de calculs en raison de la possibilité d'exercice anticipé.
La détermination de la stratégie d'exercice optimale nécessite la prise en compte de plusieurs chemins et scénarios, en particulier dans des méthodes telles que l'arbre binomial.
En outre, la résolution du problème de la frontière libre ou l'exécution de simulations de Monte Carlo étendues peuvent être coûteuses en termes de calcul.
Oui, le choix entre les options américaines et européennes peut avoir des implications financières.
Par exemple, sur les marchés où des dividendes sont attendus, l'exercice anticipé d'options d'achat américaines peut être optimal avant le versement d'un dividende.
Les résultats financiers sont alors différents de ceux obtenus avec une option européenne.
En outre, la flexibilité des options américaines peut offrir des avantages stratégiques dans certaines conditions de marché, affectant les stratégies de couverture, de négociation et de gestion des risques.
Les "grecques" sont des mesures de sensibilité dans la détermination du prix des options. Elles comprennent
Bien que les définitions des grecques restent cohérentes, leurs valeurs peuvent être différentes pour les options américaines et européennes en raison de la possibilité d'exercice anticipé des options américaines.
Bien que les deux types d'options partagent certains principes mathématiques fondamentaux, les droits d'exercice distincts des options européennes et américaines conduisent à des approches de modélisation différentes et à des complexités.