Les solveurs coniques dans les problèmes d'optimisation financière

Climax · 24-11-2023 20:02:49

Les solveurs coniques dans les problèmes d'optimisation financière (applications et exemple Python)

Les solveurs coniques sont utilisés dans l'optimisation financière, où la précision et l'efficacité de calcul sont les plus importantes.

L'optimisation financière implique l'utilisation de modèles mathématiques pour prendre des décisions optimales en matière de trading, d'investissement et de gestion des risques.

Ce domaine nécessite souvent de traiter des contraintes et des objectifs complexes.

C'est là que les solveurs coniques entrent en jeu.

Principaux enseignements

Efficace pour les problèmes convexes : Les solveurs coniques traitent efficacement les problèmes d'optimisation convexe courants en finance. Ils garantissent des solutions précises et globalement optimales.
Gestion des contraintes complexes : Ils excellent dans l'intégration de contraintes financières complexes dans les modèles d'optimisation (par exemple, limites de risque, exigences réglementaires).
Applications polyvalentes : Largement utilisées dans les tâches d'optimisation financière telles que la gestion de portefeuille, l'évaluation des risques et la tarification des actifs en raison de leur robustesse et de leur précision.
Exemple Python : Nous présentons un exemple d'optimisation par solveur conique à l'aide d'unportefeuille simple de trois actifs.

1. Le rôle des solveurs coniques dans l'optimisation financière

Nature de la programmation conique

La programmation conique est un sous-ensemble de l'optimisation convexe dans lequel la région réalisable est définie par un cône convexe.

Un cône convexe est un ensemble fermé en cas d'échelonnement positif et d'addition, ce qui inclut les problèmes de programmation linéaire, quadratique et semi-définie.

Modèles financiers complexes

En finance, les modèles intègrent souvent différents types de risques et d'objectifs de rendement qui peuvent être formulés comme des problèmes convexes.

Il peut s'agir de la moyenne et de la variance (c'est-à-dire du rendement et du risque), ainsi que des "moments supérieurs" tels que l'asymétrie et l'aplatissement, qui ont trait à la forme de la distribution des rendements.

Les solveurs coniques permettent de traiter efficacement ces complexités.

2. Types de résolveurs de coniques en finance

Solveurs linéaires

Utilisés pour l'optimisation de portefeuilles et l'allocation d'actifs lorsque les contraintes et les objectifs sont linéaires.

Solveurs quadratiques

Applicables à l'optimisation de la moyenne-variance et à la modélisation des fonctions d'utilité quadratiques.

Solveurs semi-définis

Utilisés dans la modélisation avancée du risque, y compris l'estimation des matrices de corrélation et de covariance en cas d'incertitude.

3. Applications en optimisation financière

Optimisation de portefeuille

Ajustement de la pondération des actifs d'un portefeuille afin de maximiser le rendement pour un niveau de risque donné, ou vice versa.

Gestion des risques

Quantification et gestion des risques financiers, tels que le risque de marché, le risque de crédit et le risque opérationnel.

Les interdépendances sont souvent complexes.

Évaluation des actifs

Développement de modèles permettant de déterminer avec précision le prix des produits financiers dérivés.

Prend en compte divers facteurs tels que la volatilité et la corrélation.

Voir aussi : Modèles d'évaluation des options

4. Avantages de l'utilisation des solveurs coniques

Robustesse et efficacité

Les solveurs coniques sont connus pour leur robustesse et leur capacité à traiter efficacement des problèmes à grande échelle avec des données de haute dimension.

Traitement des non-linéarités et des inconnues

Ils sont particulièrement utiles pour traiter les relations non linéaires et les inconnues inhérentes aux données financières.

Évaluation précise des risques

Les solveurs coniques fournissent des solutions précises à des problèmes d'optimisation complexes.

5. Défis et considérations

Spécification et paramétrage du modèle

Il est important que la spécification du modèle soit précise.

Des hypothèses incorrectes ou une mauvaise estimation des paramètres peuvent conduire à des solutions sous-optimales.

Voir aussi : Modèles non paramétriques en finance

Complexité informatique

Certains problèmes coniques (par exemple, les programmes semi-définis à grande échelle) peuvent être très complexes.

Qualité et disponibilité des données

L'efficacité de ces solveurs dépend de la qualité et de la disponibilité des données financières.

6. Tendances et développements futurs

Intégration avec l'apprentissage automatique

Exploitation des techniques d'apprentissage automatique pour le paramétrage de modèles dynamiques et la prédiction de variables financières.

De plus en plus de travaux d'optimisation s'orientent vers l'apprentissage automatique et l'automatisation.

Progrès dans l'efficacité des algorithmes

Recherche continue pour améliorer l'efficacité de calcul des solveurs de coniques - en particulier pour les problèmes à grande échelle.

Domaines d'application plus vastes

Extension de l'utilisation des solveurs coniques à de nouveaux domaines de la finance.

Pourquoi utiliser des solveurs coniques pour l'optimisation plutôt que d'autres approches ?

L'utilisation de solveurs coniques pour l'optimisation dans des contextes financiers - par opposition à d'autres approches - est motivée par plusieurs facteurs :

Traitement des problèmes convexes

Nature des problèmes d'optimisation financière

De nombreux problèmes d'optimisation en finance sont naturellement convexes (c'est-à-dire qu'ils ont un seul minimum global).

Les solveurs coniques sont spécifiquement conçus pour les problèmes convexes.

Cela permet de garantir l'optimalité globale.

Robustesse dans les environnements convexes

Les solveurs coniques fournissent des solutions robustes dans des contextes convexes.

Cet aspect est important dans le domaine de la finance, où les moindres erreurs peuvent avoir des répercussions financières.

Efficacité dans les espaces à haute dimension

Évolutivité

Les solveurs de coniques traitent efficacement les problèmes à haute dimension courants en finance.

Il s'agit notamment:

des optimisations de portefeuilles importants (c'est-à-dire des portefeuilles comportant un grand nombre d'actifs différents ou de transactions actives) ou
des scénarios de gestion du risque impliquant de nombreuses variables et contraintes

Vitesse

Ils offrent souvent une vitesse de calcul supérieure.

C'est important dans le domaine de la finance où les décisions doivent être prises rapidement - dans de nombreux cas, presque en temps réel.

Polyvalence et flexibilité

Large éventail de types de problèmes

Les solveurs coniques peuvent traiter différentes formes de problèmes convexes, tels que la programmation linéaire, quadratique et semi-définie.

Cette polyvalence est précieuse dans le domaine de la finance, où des problèmes différents requièrent des approches différentes.

Intégration de contraintes complexes

Les modèles financiers impliquent souvent des contraintes complexes.

Il s'agit notamment d'exigences réglementaires, de limites de risque et de coûts de transaction.

Les solveurs coniques excellent dans l'intégration et la résolution efficace de problèmes comportant de telles contraintes.

Précision et exactitude

Solutions exactes pour les problèmes convexes

Ils sont connus pour fournir des solutions précises et exactes aux problèmes d'optimisation convexe.

Stabilité des solutions

Les solveurs coniques offrent des solutions stables même en présence d'incertitudes sur les données et de perturbations du modèle, un scénario courant sur les marchés financiers.

Capacités de gestion des risques

Les solveurs coniques sont efficaces pour traiter les problèmes d'optimisation impliquant des mesures de risque telles que la valeur à risque (VaR) ou la valeur à risque conditionnelle (CVaR).

Ces mesures sont non linéaires et peuvent être modélisées comme des problèmes d'optimisation convexe.

Fondements théoriques

Ils sont fondés sur une théorie mathématique solide.

Cela permet de garantir l'intégrité des solutions.

Comparaison avec d'autres méthodes

Résolveurs non-convexes

Bien qu'il existe des solveurs pour les problèmes non convexes, ils ne garantissent souvent pas l'optimalité globale et peuvent être piégés dans des minima locaux (ce qui n'est pas souhaitable dans le cadre d'une prise de décision financière).

(Si ces termes prêtent à confusion, nous avons une FAQ ci-dessous).

Méthodes heuristiques

Les méthodes telles que les algorithmes génétiques ou le recuit simulé fournissent des solutions approximatives et peuvent être utiles pour les problèmes non convexes.

Mais elles n'ont pas la précision et l'efficacité des solveurs coniques pour les problèmes convexes.

Les mathématiques derrière les résolveurs de coniques dans l'optimisation financière

Les mathématiques qui sous-tendent les résolveurs coniques dans les problèmes d'optimisation financière impliquent de

formuler le problème financier comme un problème d'optimisation convexe
convexe, qui se traduit souvent par un problème de programmation conique, puis
le résoudre à l'aide d'algorithmes tels que les méthodes de point intérieur.

En voici un aperçu :

1. Optimisation convexe

Principes de base

L'optimisation convexe consiste à minimiser ou à maximiser une fonction convexe sur un ensemble convexe.

Une fonction est convexe si le segment de droite entre deux points quelconques de son graphique se trouve au-dessus ou sur le graphique.

Formulation du problème d'optimisation

La forme générale est min f(x) sous réserve que gi(x) ≤ 0 pour i = 1, ..., m, où f(x) est une fonction objective convexe et gi(x) des contraintes d'inégalité convexes.

Il s'agit de trouver la valeur la plus basse d'une fonction f(x) (comme la minimisation du coût ou du risque) sous certaines règles ou limitations, représentées par gi(x) ≤ 0 (comme les contraintes budgétaires ou les limites de risque), où la fonction à minimiser et les règles sont façonnées de manière à éviter les creux et les pics.

Cela garantit un chemin direct vers la meilleure solution.

2. Programmation conique

Cônes et contraintes coniques

Dans la programmation conique, la région réalisable est un cône convexe.

Un cône est un ensemble fermé à la multiplication scalaire positive et à l'addition.

Les contraintes coniques sont exprimées par x ∈ K, où K est un cône convexe.

Types de programmes coniques

Programmation linéaire : Cas particulier où la fonction objectif et les contraintes sont linéaires.
Programmation quadratique : implique une fonction objectif quadratique et des contraintes linéaires.
Programmation semi-définie : Le cône K est l'ensemble des matrices semi-définies et les contraintes impliquent des inégalités matricielles.

3. Dualité

La plupart des problèmes de programmation conique sont associés à un problème dual.

Les solutions du problème primal et du problème dual fournissent des limites l'une par rapport à l'autre.

La dualité est utilisée pour dériver des algorithmes efficaces et pour analyser la sensibilité de la solution.

4. Implémentation algorithmique

Méthodes du point intérieur

Les méthodes de point intérieur sont largement utilisées pour résoudre les problèmes de programmation conique.

Elles s'approchent itérativement de la solution à partir de la région réalisable.

Elles sont particulièrement efficaces pour les problèmes à grande échelle.

Fonctions barrières

Utilisées dans les méthodes de point intérieur, elles empêchent l'algorithme de quitter la région réalisable et le guident vers l'optimum.

5. Application en finance

Optimisation du portefeuille

Par exemple, trouver la pondération optimale des actifs pour minimiser le risque (quantifié par la variance) pour un rendement donné, ce qui peut être formulé comme un problème de programmation quadratique.

Gestion du risque

Modélisation de mesures de risque telles que la valeur à risque à l'aide de techniques d'optimisation convexe afin de garantir des solutions robustes et efficaces.

Exemple d'optimisation par solveur conique en Python

Pour démontrer l'utilisation des solveurs coniques dans l'optimisation financière d'un portefeuille de trois actifs, nous utiliserons la bibliothèque scipy.optimize de Python.

(cvxpy est également bon, mais certains pourraient avoir des difficultés à télécharger cette bibliothèque).

L'objectif est d'optimiser l'allocation d'un portefeuille composé de trois actifs différents.

Nous minimiserons le risque du portefeuille (mesuré par la variance du portefeuille) tout en atteignant le niveau souhaité de rendement attendu.

Les étapes clés sont les suivantes :

Définir les actifs et les rendements : Nous allons créer un ensemble de rendements simulés pour trois actifs. (Dans un scénario réel, ces rendements seraient basés sur des données historiques ou des estimations à terme).
Calculer les rendements attendus et la matrice de covariance : La moyenne et la covariance des rendements des actifs sont importantes pour l'analyse risque-rendement.
Définir le problème d'optimisation : nous définirons le problème de manière à minimiser le risque du portefeuille sous réserve que la somme de l'allocation totale soit égale à 1 et que le rendement attendu atteigne un certain seuil.
Résoudre le problème à l'aide de scipy.optimize : Nous utiliserons la fonction minimize de scipy.optimize pour trouver l'allocation optimale du portefeuille.

Pour les besoins de cet exemple, supposons que nous disposons de données de rendement historiques ou simulées pour les trois actifs.

Cet exemple utilise des données simplifiées et générées (nous avons mis des commentaires dans le code pour faciliter la compréhension). Les applications réelles nécessiteraient des données plus robustes et plus historiques.

import numpy as np

import scipy.optimize as optimize




# Simulated returns for 3 assets

np.random.seed(42)

returns = np.random.randn(1000, 3)




# Calculate expected returns and covariance matrix

mean_returns = returns.mean(axis=0)

cov_matrix = np.cov(returns.T)




# Objective function to minimize portfolio variance

def portfolio_variance(weights, mean_returns, cov_matrix):

return np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix, weights))




# Constraints

constraints = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x) - 1}) # This means the sum of weights is 1 (all invested capital is used)

desired_return = 0.02

return_constraint = {'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(mean_returns * x) - desired_return}




# Boundaries for weights

bounds = tuple((0, 1) for asset in range(len(mean_returns)))




# Initial guess - let's just do an equal distribution

init_guess = [1./len(mean_returns) for asset in range(len(mean_returns))]




# Optimization using scipy.optimize

optimal_portfolio = optimize.minimize(portfolio_variance, init_guess, args=(mean_returns, cov_matrix), 

method='SLSQP', bounds=bounds, constraints=[constraints, return_constraint])




# Optimal weights and minimized portfolio variance

optimal_weights = optimal_portfolio.x

minimized_variance = optimal_portfolio.fun



# Get our answers

print("Optimal Portfolio Weights:", optimal_weights)

print("Minimized Portfolio Variance:", minimized_variance)

Ces pondérations minimisent la variance (risque) du portefeuille, compte tenu de notre contrainte selon laquelle le rendement attendu du portefeuille doit être d'au moins 2 %. La variance minimisée du portefeuille avec ces pondérations est d'environ 0,395.

La valeur de 0,395 représente le risque minimisé du portefeuille sous la contrainte d'atteindre un certain niveau de rendement.

Dans le monde réel, vous utiliseriez des données de rendement historique ou des prévisions à terme pour les actifs.

Et les contraintes (comme le rendement souhaité) seraient basées sur les exigences spécifiques de l'investisseur et sa tolérance au risque.

D'autres facteurs, tels que les coûts de transaction, les considérations fiscales et les contraintes de liquidité, interviendraient également dans le processus d'optimisation.

Mais il ne s'agit que d'un exemple pour vous donner une idée de la manière dont le problème peut être posé en Python.

FAQ - Les solveurs coniques dans les problèmes d'optimisation financière

Qu'est-ce que l'optimalité globale ?

L'optimalité globale fait référence à la meilleure solution possible dans l'ensemble des solutions possibles pour un problème d'optimisation.

En termes plus simples, c'est comme trouver le point le plus bas dans un paysage de collines et de vallées - le point où l'on ne peut pas descendre plus bas, quel que soit le point de départ.

Qu'est-ce qu'un minima local ?

Un minima local est une solution qui est la meilleure dans son voisinage immédiat, mais pas nécessairement la meilleure dans son ensemble.

Imaginez que vous vous trouviez au fond d'une petite vallée entourée d'un terrain plus élevé - vous êtes à un point bas, mais il peut y avoir des vallées plus profondes ailleurs.

#1 24-11-2023 20:02:49