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Calcul de la variance pour le trading et l'investissement
- Qu'est-ce que la variance ?
- Formule de la variance (population vs échantillon)
- Comment calculer la variance : exemple chiffré
- Variance et écart-type
- Comment la variance est utilisée dans le trading
- Les types de variance en statistiques
- Variance et covariance
- Semi-variance et risque de baisse
- Le compromis moyenne-variance
- Variance et valeur attendue
- Vidéo : la variance clairement expliquée
- Conclusion
- FAQ - Questions fréquentes
Mis à jour le 23 juin 2026 par Ludovic
Qu'est-ce que la variance ?
La variance joue un rôle important dans le trading et l'investissement car elle mesure le degré de dispersion des rendements autour du rendement moyen. En d'autres termes, elle indique dans quelle mesure les rendements d'un titre ou d'un portefeuille s'écartent de leur valeur moyenne.
Les investisseurs et les traders utilisent la variance (et sa racine carrée, l'écart-type, souvent appelée « volatilité ») pour estimer le risque d'un investissement. Une variance plus élevée signifie une incertitude et un risque plus importants, tandis qu'une variance plus faible indique un risque moindre et des rendements plus stables.
Principaux points à retenir
➡️ La variance mesure le degré de dispersion des rendements autour du rendement moyen d'un titre ou d'un portefeuille.
➡️ Une variance élevée traduit une incertitude et un risque plus importants ; une variance faible indique un risque moindre.
➡️ Sa racine carrée est l'écart-type, mesure de volatilité exprimée dans la même unité que les rendements.
➡️ Traders et investisseurs s'en servent pour dimensionner leurs positions et diversifier leurs portefeuilles afin de gérer le risque.
Formule de la variance (population vs échantillon)
La formule de la variance calcule la dispersion d'un ensemble de points de données. Elle correspond à la moyenne des carrés des écarts entre chaque point de données et la moyenne de l'ensemble.
Il existe deux versions de la formule selon que l'on dispose de toutes les données (population) ou seulement d'un échantillon. La distinction est essentielle en finance, où l'on travaille presque toujours sur un échantillon de rendements observés.
On divise par n. À utiliser quand on connaît l'ensemble complet des données ou que l'on souhaite simplement décrire la dispersion observée.
On divise par n − 1 (correction de Bessel). À utiliser quand on estime la variance d'une population plus large à partir d'un échantillon de rendements.
où :
- Σ est le symbole de sommation (« somme de ») ;
- xi est la valeur du i-ème point de données ;
- μ (population) ou x̄ (échantillon) est la moyenne de l'ensemble ;
- n est le nombre total de points de données.
Pourquoi diviser par n − 1 ?
La moyenne utilisée dans le calcul est elle-même estimée à partir de l'échantillon, ce qui « consomme » un degré de liberté. Diviser par n − 1 corrige le biais qui sous-estimerait la dispersion réelle. Lorsque n est grand, l'écart entre les deux formules devient négligeable.
La variance est un élément clé du calcul d'autres mesures statistiques, à commencer par l'écart-type (sa racine carrée), mais aussi les tests d'hypothèse, l'analyse de régression ou le contrôle qualité.
Comment calculer la variance : exemple chiffré
Prenons les rendements d'un actif sur cinq périodes : +2 %, −1 %, +3 %, −2 %, +1 %. Voici le calcul pas à pas.
| Mesure | Formule | Résultat | Interprétation |
|---|---|---|---|
| Variance de population (σ²) | 17,2 / 5 | 3,44 %² | Dispersion en unité au carré |
| Variance d'échantillon (s²) | 17,2 / 4 | 4,30 %² | Estimation non biaisée |
| Écart-type de population (σ) | √3,44 | ≈ 1,85 % | Volatilité, même unité que les rendements |
| Écart-type d'échantillon (s) | √4,30 | ≈ 2,07 % | Volatilité estimée |
Annualisation de la volatilité
La variance s'additionne dans le temps : la variance annuelle vaut la variance périodique multipliée par le nombre de périodes. L'écart-type, lui, est multiplié par la racine carrée du nombre de périodes. Une volatilité quotidienne se convertit ainsi en volatilité annuelle en la multipliant par √252 (jours de Bourse).
Variance et écart-type
La variance et l'écart-type mesurent tous deux la variabilité d'un ensemble de données, mais c'est l'écart-type qui domine dans le trading et l'investissement, car il sert à mesurer la volatilité dans la même unité que les rendements.
- Base mathématique de nombreux modèles (théorie du portefeuille, régression).
- Propriété d'additivité dans le temps, pratique pour l'annualisation.
- S'exprime en unité au carré (%²), donc peu intuitive à lire.
- Racine carrée de la variance, exprimé dans la même unité que les rendements.
- Mesure de volatilité directement interprétable et comparable.
- Largement utilisé dans les ratios de risque (Sharpe, Sortino, Treynor).
Un écart-type plus élevé indique des rendements plus volatils, donc plus risqués. Un investisseur prudent préférera un actif à faible écart-type, plus stable dans le temps. Un investisseur plus tolérant au risque pourra accepter un écart-type plus élevé en échange de rendements potentiellement supérieurs. C'est là qu'interviennent les notions de rendements ajustés au risque et les ratios tels que Sharpe, Sortino ou Treynor.
Comment la variance est utilisée dans le trading
Dans le trading, la variance sert souvent à déterminer la taille optimale d'une position. En estimant la variance attendue d'un titre ou d'un portefeuille, le trader évalue le risque qu'il est prêt à prendre et ajuste sa position en conséquence. Si la variance est élevée, il peut réduire la taille de sa position pour limiter les pertes potentielles.
Dans la gestion de portefeuille, la variance est centrale pour la diversification. Un portefeuille bien diversifié combine des actifs présentant différents niveaux de variance, ce qui permet de réduire le risque global. En associant ces actifs, l'investisseur construit un portefeuille au niveau de risque souhaité tout en cherchant à maximiser les rendements.
La variance aide ainsi à comprendre le niveau de risque associé à un investissement et à prendre des décisions éclairées sur la construction du portefeuille et les stratégies de trading.
Les types de variance en statistiques
En statistique, plusieurs types de variance sont couramment utilisés selon le contexte d'analyse :
Choisir le type de variance approprié est indispensable pour obtenir des résultats précis et significatifs.
Variance et covariance
Variance et covariance sont deux concepts complémentaires en finance. La variance mesure la variabilité des rendements d'un seul actif, tandis que la covariance mesure la variabilité conjointe des rendements de deux actifs.
Une covariance positive indique que les deux actifs ont tendance à évoluer dans la même direction ; une covariance négative, qu'ils évoluent en sens opposés. C'est cette propriété qui aide à diversifier un portefeuille : en combinant des actifs faiblement (ou négativement) corrélés, on réduit le risque global. La matrice de variance-covariance est d'ailleurs au cœur de tous les logiciels d'optimisation de portefeuille.
En résumé : la variance mesure la volatilité d'un actif isolé, la covariance mesure la relation entre deux actifs. Les deux servent à gérer le risque et à améliorer le couple rendement/risque d'un portefeuille.
Semi-variance et risque de baisse (downside risk)
La variance classique présente une limite : elle traite de la même façon les écarts positifs et négatifs par rapport à la moyenne. Or, pour un investisseur, une variation à la hausse n'a pas la même signification qu'une variation à la baisse.
La semi-variance répond à ce problème : elle ne mesure la dispersion que pour les rendements situés en dessous de la moyenne (ou d'un seuil cible, le « rendement minimum acceptable »). Elle se concentre donc uniquement sur le risque de perte. Sa racine carrée, la semi-déviation, sert notamment au calcul du ratio de Sortino, qui mesure la performance ajustée au seul risque de baisse, contrairement au ratio de Sharpe qui utilise la volatilité totale.
À retenir : Le rapport entre semi-variance et variance renseigne sur l'asymétrie de la distribution des rendements. Lorsqu'il s'éloigne nettement de 50 %, la variance tend à surestimer le risque réel et les mesures de downside risk (semi-déviation, VaR conditionnelle) deviennent plus pertinentes. Depuis les années 1980, le downside risk est devenu un standard de la gestion du risque.
Le compromis moyenne-variance
Le compromis moyenne-variance désigne l'arbitrage entre le rendement attendu et le risque (variance) d'un investissement. Les investisseurs choisissent entre prendre plus de risque pour viser des rendements plus élevés, ou accepter des rendements plus faibles pour réduire le risque.
La théorie moderne du portefeuille, développée par Harry Markowitz, fournit un cadre pour déterminer le portefeuille optimal offrant le rendement attendu le plus élevé pour un niveau de risque donné. Elle suppose que les investisseurs ont une aversion au risque et préfèrent les portefeuilles qui minimisent le risque pour un rendement donné (ou maximisent le rendement pour un risque donné).
En pratique, on utilise des outils comme le modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF/CAPM) et la frontière efficiente. Le MEDAF combine le rendement attendu du marché, le taux sans risque et le bêta du titre pour estimer son rendement attendu ; la frontière efficiente identifie l'ensemble des portefeuilles offrant le meilleur rendement pour chaque niveau de risque.
Un portefeuille bien diversifié, combinant des actifs à différents niveaux de risque, aide à atteindre un équilibre plus optimal entre risque et rendement.
Variance et valeur attendue
La valeur attendue (VA) mesure le résultat moyen d'un investissement : c'est la somme des résultats possibles pondérés par leurs probabilités. Par exemple, avec 60 % de chances de gagner 10 % et 40 % de chances de perdre 5 % :
- (0,6 × 0,10) + (0,4 × −0,05) = 0,06 − 0,02 = 0,04, soit un rendement attendu de 4 %.
La variance mesure quant à elle la dispersion des résultats possibles autour de cette valeur attendue. Une variance élevée signifie que le résultat réel peut s'écarter fortement de la VA (investissement plus risqué) ; une variance faible, que le résultat sera probablement proche de la VA. Pour deux investissements ayant le même rendement attendu de 10 %, celui dont la variance est la plus élevée est le plus risqué, car ses rendements seront plus dispersés et imprévisibles.
Exemple ludique : variance contre valeur attendue
Imaginez un jeu à trois options :
| Option | Probabilité de gain | Gain | Valeur attendue |
|---|---|---|---|
| Option 1 | 80 % | 10 000 $ | 8 000 $ |
| Option 2 | 30 % | 100 000 $ | 30 000 $ |
| Option 3 | 10 % | 1 000 000 $ | 100 000 $ |
Sacrifieriez-vous de la valeur attendue pour une variance plus faible ? Cela peut être parfaitement raisonnable. Le choix dépend de la tolérance au risque, des objectifs financiers et de la situation de chacun.
Option 1 - Un profil averse au risque, à faible capacité de perte, privilégiera la sécurité d'un gain plus probable, quitte à renoncer à un montant plus élevé.
Option 2 - Un profil à tolérance modérée, disposant d'une plus grande capacité de risque, acceptera une probabilité de gain plus faible en échange d'une récompense supérieure, tout en limitant son exposition.
Option 3 - Un profil très tolérant au risque visera la récompense maximale malgré la plus faible probabilité de gain, en acceptant le risque de tout perdre.
Ce processus d'essai-erreur reflète le fonctionnement réel des marchés : le « prix de compensation » est celui qui répartirait les choix de façon équilibrée. Sur les marchés financiers, cela revient à arbitrer entre des bons du Trésor sûrs, des actions ou des formes de crédit plus risquées. Plus on monte dans l'échelle des risques, plus la valeur attendue augmente, mais au prix d'une variance et d'un risque de perte plus élevés.
Vidéo : la variance clairement expliquée
Conclusion
La variance est une mesure statistique qui quantifie la dispersion des rendements autour de leur moyenne. Dans le trading et l'investissement, elle aide à comprendre le risque associé à un placement : une variance élevée signale des rendements susceptibles de s'écarter fortement de la valeur attendue (investissement plus risqué), tandis qu'une variance faible indique des rendements plus prévisibles.
De la simple formule de dispersion à ses déclinaisons (variance d'échantillon, covariance, semi-variance), c'est un outil fondamental pour évaluer et comparer les opportunités d'investissement, dimensionner ses positions et construire un portefeuille diversifié au profil de risque maîtrisé.
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| # | Broker | Note | Réglementation | Plateformes | Actions |
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FAQ - Questions fréquentes
Non, ce sont des concepts liés mais distincts. La variance est une mesure statistique qui quantifie la dispersion des rendements autour de leur moyenne. La volatilité, en finance, correspond le plus souvent à l'écart-type des rendements, c'est-à-dire à la racine carrée de la variance. La variance s'exprime en unité au carré (%²) tandis que l'écart-type s'exprime dans la même unité que les données, ce qui le rend plus interprétable.
La variance de population divise la somme des carrés des écarts par n (toutes les données sont connues). La variance d'échantillon divise par n − 1 (correction de Bessel) car on estime la variance réelle à partir d'un sous-ensemble. En finance, on travaille presque toujours sur un échantillon de rendements, donc on utilise n − 1.
Parce que la moyenne utilisée dans le calcul est elle-même estimée à partir de l'échantillon, ce qui « consomme » un degré de liberté. Diviser par n − 1 plutôt que par n produit un estimateur non biaisé de la variance de la population. Quand n est grand, l'écart entre les deux formules devient négligeable.
L'écart-type est simplement la racine carrée de la variance. Si la variance d'un actif est de 4 (%²), l'écart-type est de 2 %. L'écart-type est préféré en pratique car il s'exprime dans la même unité que les rendements, ce qui le rend directement comparable et interprétable.
La variance s'additionne dans le temps : la variance annuelle est égale à la variance périodique multipliée par le nombre de périodes. La volatilité (écart-type), elle, est multipliée par la racine carrée du nombre de périodes. Par exemple, une volatilité quotidienne se convertit en volatilité annuelle en la multipliant par √252 (jours de Bourse).
La semi-variance ne mesure la dispersion que pour les rendements situés en dessous de la moyenne (ou d'un seuil cible). Elle se concentre sur le risque de baisse, contrairement à la variance classique qui traite symétriquement les écarts positifs et négatifs. Sa racine carrée, la semi-déviation, sert notamment au calcul du ratio de Sortino.
C'est un concept d'apprentissage automatique : un modèle à fort biais est trop simple et sous-ajuste les données, tandis qu'un modèle à forte variance est trop complexe et sur-ajuste les données d'apprentissage. L'objectif est de trouver le bon équilibre entre les deux pour bien généraliser à de nouvelles données.
Un swap de variance est un produit dérivé de gré à gré qui permet de prendre position sur le niveau de volatilité d'un actif sous-jacent, indépendamment de sa direction. Le règlement dépend de l'écart entre la variance réalisée sur la période et une variance d'exercice convenue à l'avance.
Non. Une variance élevée signifie une dispersion et une incertitude plus fortes, donc un risque plus important, mais aussi un potentiel de rendement plus élevé. Un investisseur tolérant au risque peut rechercher des actifs à forte variance, tandis qu'un profil prudent privilégiera une faible variance pour des rendements plus stables.
En estimant la variance attendue d'un actif, le trader évalue le risque de sa position et ajuste sa taille en conséquence : plus la variance est élevée, plus la position est réduite pour limiter les pertes potentielles. La covariance entre actifs permet en outre de diversifier le portefeuille et de réduire le risque global.
Avertissement : Le trading de CFD implique un risque de perte significatif, il ne convient donc pas à tous les investisseurs. 70 à 80 % des comptes d'investisseurs particuliers perdent de l'argent.
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