Méthodes bayésiennes variationnelles en finance

Climax · 18-02-2024 19:26:06

Méthodes bayésiennes variationnelles en finance, marchés et trading

Les méthodes bayésiennes variationnelles, dans le contexte de la théorie des probabilités en finance et sur les marchés, offrent un cadre pour traiter l'incertitude et faire des prédictions.

Ces méthodes appartiennent à la famille des techniques d'inférence bayésienne, qui mettent à jour les probabilités des hypothèses au fur et à mesure que de nouvelles données sont disponibles.

Les méthodes bayésiennes variationnelles utilisent spécifiquement des techniques d'optimisation pour approximer des distributions postérieures complexes et offrent une alternative efficace en termes de calcul aux méthodes d'échantillonnage traditionnelles telles que la chaîne de Markov Monte Carlo (MCMC).

Principaux enseignements:

Approximation efficace

Les méthodes bayésiennes variationnelles offrent un moyen efficace d'approximer les distributions postérieures dans les modèles financiers.
Elles permettent une inférence plus rapide et évolutive que les méthodes d'échantillonnage traditionnelles.

Quantification de l'incertitude

Ces méthodes permettent de quantifier l'incertitude dans les estimations et les prédictions.

Gestion de la complexité des modèles

Les approches bayésiennes variationnelles facilitent l'utilisation de modèles plus complexes en simplifiant le processus d'inférence.
Cela permet aux traders et aux analystes de mieux saisir les dynamiques et les relations du marché.

Voici comment ces méthodes sont appliquées en finance et sur les marchés :

Optimisation de portefeuille

Dans le cadre de l'optimisation de portefeuille, les traders/investisseurs cherchent généralement à répartir leurs actifs de manière à maximiser les rendements pour un niveau de risque donné.

Les méthodes bayésiennes variationnelles peuvent être utilisées pour estimer les distributions postérieures des rendements des actifs.

Cette méthode prend en compte non seulement les rendements historiques, mais aussi l'incertitude liée à ces estimations (c'est-à-dire représentée sous la forme d'une distribution de probabilités).

Cela permet une meilleure optimisation en cas d'incertitude, ce qui aide les traders/investisseurs à prendre des décisions d'allocation plus éclairées.

Gestion des risques

La gestion des risques implique l'évaluation et le contrôle (ou l'élimination) des risques financiers.

Les méthodes bayésiennes variationnelles peuvent modéliser l'incertitude des facteurs de risque pertinents, tels que la volatilité du marché, les taux d'intérêt ou le risque de crédit.

En approximant les distributions postérieures de ces facteurs de risque, les institutions financières peuvent mieux comprendre l'éventail des résultats possibles et les probabilités d'événements extrêmes.

Trading algorithmique

Les stratégies de trading algorithmique s'appuient souvent sur des modèles prédictifs pour prendre des décisions de trading.

Les méthodes bayésiennes variationnelles peuvent être utilisées pour développer des modèles prédictifs qui intègrent l'incertitude sur les conditions du marché, les prix des actifs ou l'impact des indicateurs économiques.

Cette approche probabiliste permet aux algorithmes de trading non seulement de faire des prédictions sur les mouvements futurs du marché, mais aussi de quantifier la confiance dans ces prédictions.

De très nombreuses choses sont possibles. Ce sont les probabilités qui comptent.

Évaluation du crédit

L'évaluation du crédit consiste à prédire la probabilité de défaillance des emprunteurs.

Des méthodes bayésiennes variationnelles peuvent être appliquées pour modéliser l'incertitude de la solvabilité des emprunteurs.

Ces méthodes intègrent divers indicateurs financiers et des informations personnelles.

En estimant les distributions postérieures des probabilités de défaut, les prêteurs peuvent prendre des décisions de prêt plus nuancées qui tiennent compte de l'incertitude inhérente à la solvabilité.

L'évaluation des actifs

Les modèles d'évaluation des actifs cherchent à déterminer la juste valeur des instruments financiers.

Les méthodes bayésiennes variationnelles peuvent améliorer ces modèles en incorporant l'incertitude dans le processus d'évaluation, comme l'incertitude des paramètres du modèle ou des flux de trésorerie futurs.

Cela permet une évaluation probabiliste des prix des actifs.

Cela permet d'obtenir une gamme de valeurs possibles et leurs probabilités associées plutôt qu'une estimation ponctuelle unique.

Lorsque l'on considère les choses en termes de distribution de probabilités, on sait qu'un large éventail de résultats est possible.

Par exemple, dans la distribution de probabilités ci-dessous, même les prix les plus probables (au sommet ou autour du sommet) ont moins de 2 % de chances d'être le résultat.

Avantages et défis

Avantages

Efficacité informatique - Les méthodes bayésiennes variationnelles sont généralement plus efficaces sur le plan informatique que les méthodes basées sur l'échantillonnage (en particulier dans les applications à grande échelle ou lorsqu'une analyse en temps réel est nécessaire).
Traitement de l'incertitude - Ces méthodes fournissent un moyen systématique d'intégrer et de quantifier l'incertitude. Elles permettent de mieux comprendre les distributions de probabilité des paramètres du modèle ou des prédictions.

Défis

Biais d'approximation - Les méthodes variationnelles impliquent l'approximation des véritables distributions postérieures, ce qui peut introduire un biais si la famille de distributions choisie n'est pas assez flexible pour capturer la complexité réelle.
Complexité du modèle - Le développement et la mise en œuvre de modèles bayésiens variationnels peuvent être complexes. Ils nécessitent un examen minutieux de la structure du modèle et du processus d'optimisation.

Méthodes bayésiennes variationnelles et méthodes bayésiennes traditionnelles

Le terme "variationnel" dans le contexte des méthodes bayésiennes variationnelles fait référence à une approche informatique utilisée pour approximer les distributions de probabilité dans les statistiques bayésiennes.

Analysons le concept et ses différences avec les méthodes bayésiennes traditionnelles :

Méthodes bayésiennes traditionnelles

Les méthodes bayésiennes s'articulent autour du théorème de Bayes, qui met à jour l'estimation de la probabilité d'une hypothèse au fur et à mesure que de nouvelles preuves sont disponibles.

Un exemple serait la mise à jour de vos impressions sur la valorisation d'une action après la publication des résultats trimestriels.

Les méthodes bayésiennes calculent la distribution postérieure, qui combine les croyances antérieures sur un paramètre avec la probabilité d'observer les données compte tenu de ces paramètres.

Pour les modèles complexes, cette distribution postérieure peut être très difficile à calculer exactement car elle implique des intégrales à haute dimension sur l'espace des paramètres.

Les méthodes bayésiennes traditionnelles, comme la méthode de Monte-Carlo par chaîne de Markov (MCMC), relèvent ce défi en utilisant des techniques d'échantillonnage.

Elles génèrent des échantillons de la distribution postérieure et utilisent ces échantillons pour estimer les propriétés de la distribution (telles que sa moyenne ou sa variance).

Les méthodes MCMC peuvent être très précises, mais elles sont souvent très gourmandes en ressources informatiques et lentes, surtout dans le cas de modèles complexes ou de grands ensembles de données.

Méthodes bayésiennes variationnelles

Le terme "variationnel" fait référence à l'utilisation de techniques d'optimisation pour trouver la meilleure approximation de la distribution postérieure à partir d'une famille spécifique de distributions plus simples.

Au lieu d'échantillonner directement la distribution postérieure, les méthodes bayésiennes variationnelles l'approximent avec une distribution plus facile à traiter sur le plan informatique.

La "meilleure" approximation est trouvée en minimisant la différence entre la vraie distribution postérieure et la distribution approximative, généralement mesurée par une métrique de divergence comme la divergence de Kullback-Leibler (KL).

Principales différences

Efficacité informatique - Les méthodes variationnelles sont généralement plus rapides que les méthodes MCMC et autres méthodes d'échantillonnage, car elles transforment le problème de l'inférence bayésienne en un problème d'optimisation, qui peut être résolu plus efficacement.
Approximation ou échantillonnage - Les méthodes bayésiennes variationnelles font une approximation directe de la distribution postérieure, alors que les méthodes bayésiennes traditionnelles s'appuient sur l'échantillonnage pour estimer les propriétés de la distribution postérieure.
Compromis - La rapidité et l'efficacité des méthodes variationnelles se font au détriment de la précision. L'approximation peut ne pas saisir toutes les nuances de la véritable distribution postérieure. Cela peut introduire un biais dans l'inférence.

Méthodes bayésiennes variationnelles pour l'optimisation des portefeuilles

Vous pouvez utiliser des méthodes bayésiennes variationnelles pour analyser les données historiques des prix des actifs afin de prédire les distributions futures et d'optimiser l'allocation des actifs d'un portefeuille.

Cette approche combine les forces de l'inférence bayésienne et l'efficacité informatique des techniques variationnelles pour traiter le large éventail d'inconnues des marchés financiers.

Voici comment se déroule généralement le processus :

Étape 1 : Spécification du modèle

Tout d'abord, vous définissez un modèle probabiliste qui décrit la manière dont vous pensez que les rendements des actifs sont générés.

Ce modèle intègre non seulement les données historiques sur les prix des actifs, mais peut également inclure d'autres facteurs tels que des indicateurs macroéconomiques, les fondamentaux des entreprises ou des indicateurs techniques censés influencer les prix des actifs.

Étape 2 : Distribution préalable

Vous spécifiez des distributions préalables pour les paramètres de votre modèle.

Ces antériorités correspondent à ce que vous pensez des paramètres avant d'observer les données, comme les rendements attendus, les volatilités, les corrélations ou tout autre paramètre spécifique au modèle.

Étape 3 : Apprentissage à partir des données

À l'aide des données historiques sur les prix des actifs, vous appliquez des méthodes bayésiennes variationnelles pour approximer les distributions postérieures des paramètres du modèle.

Cette étape consiste à optimiser les paramètres variationnels pour que la famille de distributions choisie (l'approximation variationnelle) soit aussi proche que possible de la véritable distribution postérieure, en utilisant généralement des mesures de divergence telles que la divergence de Kullback-Leibler (KL).

Étape 4 : Distributions prédictives

Avec les distributions postérieures approximatives des paramètres du modèle, vous pouvez alors prédire les distributions futures des rendements des actifs.

Ces distributions prédictives sont dérivées de la distribution postérieure et intègrent à la fois les données historiques observées et l'incertitude initiale représentée dans les valeurs a priori.

Cela permet d'obtenir une vue d'ensemble des comportements futurs potentiels des actifs.

Étape 5 : Optimisation du portefeuille

Enfin, vous utilisez les distributions prédites des rendements des actifs pour optimiser l'allocation des actifs de votre portefeuille.

Cette optimisation peut se faire selon différents critères, tels que la maximisation de l'utilité attendue, la minimisation du risque (par exemple, la variance) ou la réalisation d'un objectif de rendement spécifique, tout en tenant compte de la distribution complète des résultats afin de prendre en compte les inconnues.

Le processus d'optimisation peut impliquer la simulation de nombreux scénarios futurs potentiels sur la base des distributions prédictives et la sélection de l'allocation d'actifs la plus performante dans ces scénarios en fonction de votre critère d'optimisation.

Avantages

Intégration de l'incertitude - Les méthodes bayésiennes variationnelles permettent une intégration nuancée de l'incertitude à la fois dans les paramètres du modèle et dans les prévisions. Elles fournissent un cadre plus riche pour la prise de décision en situation d'incertitude que les estimations ponctuelles ou les simples moyennes historiques (par exemple, les actions rapportent 7 % par an).
Efficacité informatique - Ils offrent une alternative plus facile à calculer que l'échantillonnage MCMC traditionnel. Ils permettent l'analyse de modèles complexes et de grands ensembles de données qui prévalent en finance.

Défis

Complexité du modèle - Le développement d'un modèle probabiliste complet qui capture avec précision la dynamique des marchés financiers peut s'avérer complexe et nécessite un examen minutieux des différents facteurs et de leurs interactions.
Biais d'approximation - Bien que les méthodes variationnelles soient efficaces, l'approximation de la distribution postérieure introduit un compromis entre la vitesse de calcul et la précision des estimations d'incertitude.

Résumé

L'utilisation de méthodes bayésiennes variationnelles pour prédire les distributions futures des prix des actifs sur la base de données historiques pour l'optimisation des portefeuilles est une approche plus avancée qui tire parti de l'inférence bayésienne pour prendre des décisions de trading/investissement informées et tenant compte de l'incertitude.

Exemple de codage - Méthodes bayésiennes variationnelles en finance

Comme nous l'avons mentionné, les méthodes bayésiennes variationnelles sont une classe de techniques d'inférence bayésienne qui approximent les distributions postérieures par optimisation - une alternative efficace en termes de calcul aux méthodes traditionnelles de Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC).

Ces méthodes sont utiles en finance, étant donné que vous devez souvent traiter des ensembles de données complexes, à haute dimension et comportant de nombreuses inconnues.

Pour un exemple pratique, considérons un scénario dans lequel nous voulons estimer les paramètres des rendements d'un actif financier, modélisés à l'aide d'une distribution gaussienne.

Notre objectif est d'estimer ces paramètres à partir des données observées en utilisant l'inférence variationnelle.

Numpy, Pandas, Scipy vs. PyMC3

La mise en œuvre d'une méthode bayésienne variationnelle à partir de zéro en utilisant uniquement NumPy, pandas et SciPy est un peu plus impliquée que l'utilisation de bibliothèques spécialisées comme PyMC3 - principalement parce que ces bibliothèques spécialisées automatisent une grande partie du processus (y compris l'optimisation des paramètres variationnels).

Cependant, à des fins pédagogiques, nous pouvons approximer un processus d'inférence bayésienne variationnelle simple pour estimer la moyenne (μ) et l'écart type (σ) d'une distribution gaussienne représentant les rendements d'actifs financiers.

Nous créerons un exemple simpliste axé sur l'estimation des distributions postérieures de μ et σ à l'aide de la distribution gaussienne des rendements observés.

Nous mettrons en œuvre une procédure d'optimisation de base pour trouver les paramètres qui minimisent la divergence entre les distributions postérieures réelles et approximatives, en utilisant le concept d'inférence variationnelle.

Hypothèses :

Les rendements observés suivent une distribution gaussienne.
Nous cherchons à approximer la distribution postérieure de μ et σ à l'aide d'une famille gaussienne pour μ et d'un gamma inverse pour σ, simplifié pour cet exemple.
Nous utiliserons la minimisation de la divergence KL de manière conceptuelle, en nous concentrant sur le résultat plutôt que sur le processus exact.

Étape 1 : Générer des données simulées

Tout d'abord, nous simulons des données de rendement pour notre actif.

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import minimize
from scipy.stats import norm, invgamma

# Parameters
true_mu = 0.05 # True mean
true_sigma = 0.1 # True standard deviation
np.random.seed(45)
data = np.random.normal(true_mu, true_sigma, 100) # Simulated asset returns

Étape 2 : Définition de la fonction objectif variationnelle

Pour simplifier, nous définirons une fonction qui représente la valeur négative de la log-vraisemblance de nos données compte tenu des paramètres de notre modèle.

Dans une approche bayésienne variationnelle plus complète, cela impliquerait le calcul ELBO (Evidence Lower BOund).

def neg_log_likelihood(params, data):
"""
Negative log likelihood of the data given model parameters.
params: [mu, log_sigma] - log_sigma is used for optimization stability.
data: Observed data
"""
mu, log_sigma = params
sigma = np.exp(log_sigma) # Ensure sigma is positive
return -np.sum(norm.logpdf(data, mu, sigma))

Étape 3 : Optimisation des paramètres variationnels

Nous allons minimiser la log-vraisemblance négative pour trouver les meilleurs paramètres (μ et σ) qui se rapprochent de notre distribution a posteriori.

# Initial guesses for mu & log_sigma
init_params = [0, np.log(0.1)]

# Optimization to find the best variational parameters
result = minimize(neg_log_likelihood, init_params, args=(data,), method='L-BFGS-B')

# Extract the optimized parameters
mu_opt, log_sigma_opt = result.x
sigma_opt = np.exp(log_sigma_opt)

print(f"Optimized mu: {mu_opt}, Optimized sigma: {sigma_opt}")

Étape 4 : Interprétation

Les valeurs optimisées μ et σ (encadrées en rose dans l'image ci-dessous) fournissent des estimations ponctuelles de la moyenne et de l'écart type des rendements de l'actif.

Bien que cette approche simplifiée ne calcule pas directement une distribution postérieure complète ou n'implique pas un calcul explicite de la divergence KL, elle donne une idée de base de la manière dont on peut aborder l'estimation des paramètres dans un cadre bayésien à l'aide de techniques d'optimisation.
Résumé

Cet exemple simplifie de nombreux aspects des méthodes bayésiennes variationnelles dans un souci d'accessibilité.

En pratique, l'inférence variationnelle implique l'approximation de distributions postérieures complexes en optimisant les paramètres d'une famille de distribution choisie afin de minimiser la divergence KL entre l'approximation et la vraie distribution postérieure.

Elle nécessite souvent des techniques et des considérations plus sophistiquées pour la convergence et la précision.

Conclusion

Les méthodes bayésiennes variationnelles offrent un équilibre entre l'efficacité des calculs et la capacité à modéliser l'incertitude.

En fournissant un cadre probabiliste pour la prise de décision, ces méthodes améliorent l'analyse et la gestion des risques financiers, l'optimisation des portefeuilles, le trading algorithmique et d'autres fonctions clés de la finance et des marchés.

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