Optimisation globale déterministe (Applications de trading)

Climax · 09-02-2024 13:29:32

Optimisation globale déterministe (Applications de trading et d'investissement)

L'optimisation globale déterministe est une branche de l'optimisation mathématique qui ne s'appuie pas sur des méthodes probabilistes pour trouver le maximum ou le minimum global d'une fonction donnée.

Dans le contexte du trading et de l'investissement, elle implique l'application de techniques mathématiques rigoureuses pour optimiser les stratégies de trading, les allocations de portefeuille et les modèles de trading dans le but d'atteindre la meilleure performance possible tout en gérant le risque.

Principaux enseignements :

Garantit l'optimisation globale

Contrairement aux méthodes d'optimisation locale, l'optimisation globale déterministe garantit la recherche de la meilleure solution absolue dans l'ensemble de l'espace de solution.
Utile pour maximiser les profits ou minimiser les risques dans les stratégies de trading.

Réduction de l'incertitude

En explorant systématiquement toutes les solutions possibles, l'optimisation globale minimise l'incertitude dans la prise de décision.

Intensité de calcul

La nature exhaustive de la recherche peut nécessiter d'importantes ressources informatiques.
Il est donc important de trouver un équilibre entre précision et praticité dans les applications de trading.

Principes fondamentaux de l'optimisation globale déterministe

Fondements mathématiques

Les méthodes déterministes utilisent des conditions ou des critères spécifiques, tels que la convexité ou la monotonicité, pour rechercher systématiquement la solution optimale.

Ces méthodes garantissent la recherche d'optima globaux dans des limites de tolérance prédéfinies (sous réserve de ressources informatiques suffisantes).

Nous examinerons plus en détail les mathématiques qui sous-tendent les méthodes déterministes dans une autre section ci-dessous.

Application aux opérations de trading et d'investissement

Dans le domaine du trading et de l'investissement, l'optimisation globale déterministe est utilisée pour construire des portefeuilles efficaces, optimiser les algorithmes de trading et gérer les risques.

Elle garantit que les solutions ne sont pas seulement optimales au niveau local (les meilleures au sein d'un petit ensemble de solutions voisines), mais qu'elles sont optimales au niveau mondial (la meilleure solution globale possible).

Techniques clés en optimisation globale déterministe

Méthodes de branchement et de délimitation

Ces méthodes consistent à diviser le problème en sous-problèmes plus petits (branchement) et à calculer les limites de la solution optimale dans chaque sous-problème.

Si la borne d'un sous-problème est plus mauvaise que la solution connue, elle est éliminée (élagage).

Cette méthode est efficace pour résoudre les problèmes d'optimisation en nombres entiers et mixtes, souvent rencontrés dans l'optimisation de portefeuille.

Méthodes du plan de coupe

Les méthodes de plan de coupe affinent itérativement la région réalisable d'un problème d'optimisation en ajoutant des contraintes linéaires (coupes).

Ces coupes sont générées sur la base de la solution actuelle et permettent d'exclure les régions qui ne contiennent pas la solution optimale, améliorant ainsi l'efficacité de la recherche.

Recuit déterministe

Technique inspirée de la mécanique statistique, le recuit déterministe affine progressivement la solution en considérant une série de problèmes d'optimisation.

Chaque problème est une version adoucie de l'original et, à mesure que le paramètre de "température" diminue, l'espace de solution est progressivement restreint pour se concentrer autour de l'optimum global.

Applications de l'optimisation globale déterministe dans le trading et l'investissement

Optimisation de portefeuille

L'optimisation globale déterministe est un outil naturel pour l'optimisation de portefeuille (en particulier en présence de contraintes et de fonctions objectives complexes et non linéaires).

Elle garantit que le portefeuille sélectionné n'est pas seulement localement optimal, mais qu'il est le meilleur parmi tous les portefeuilles possibles, compte tenu du rendement, du risque et des autres contraintes spécifiées par le trader/Investisseur.

Trading algorithmique

Dans le trading algorithmique, des techniques d'optimisation déterministes sont utilisées pour développer des algorithmes de trading.

Ces méthodes permettent d'affiner les paramètres de l'algorithme de trading afin de garantir une performance optimale dans différentes conditions de marché.

Gestion des risques

Les méthodes déterministes sont utilisées dans la gestion des risques en optimisant l'allocation des actifs afin de minimiser les risques tels que le risque de marché, le risque de crédit et le risque opérationnel.

Elles aident à construire des portefeuilles qui résistent aux événements extrêmes du marché et garantissent une stabilité à long terme.

Les mathématiques derrière l'optimisation globale déterministe

Voici quelques informations sur les mathématiques qui sous-tendent l'optimisation globale déterministe.

Formulation du problème :

Minimiser f(x)
Sous réserve de : gi(x) ≤ 0, i = 1,...,m hj(x) = 0, j = 1,...,p LB ≤ x ≤ UB

Où :

f(x) est la fonction objective
gi(x) et hj(x) sont les fonctions de contrainte d'inégalité et d'égalité
LB et UB sont les limites inférieures et supérieures des variables x.

Approches

Méthodes de discrétisation - Échantillonner f(x) en des points discrets prédéfinis du domaine pour trouver le minimum global. Comprend la recherche de grille, la recherche de motif.
Analyse d'intervalle - Utilisation de l'arithmétique d'intervalle et des techniques de branchement et de délimitation pour mettre rigoureusement entre parenthèses l'optimum global. Permet de certifier la qualité de la solution.
Méthodes de plan de coupe - Ajout itératif de contraintes linéaires/non linéaires qui coupent les régions ne présentant pas d'optimum. Comprend la programmation linéaire, la décomposition de Benders généralisée.

Les mathématiques impliquent la formulation de théorèmes/lemmes* pour garantir la convergence ainsi que des algorithmes d'optimisation constructifs tirant parti d'une structure spéciale pour rechercher méthodiquement l'ensemble de l'espace.

Le principal avantage est l'obtention de solutions optimales globales prouvables.

Les défis sont la complexité élevée pour les problèmes non convexes et la "malédiction" de la dimensionnalité. L'hybridation avec des heuristiques est souvent utile pour passer à l'échelle.

(*En mathématiques, un lemme est un énoncé prouvé utilisé comme tremplin vers la preuve d'un résultat plus important, servant souvent de proposition intermédiaire utile pour construire des théorèmes plus complexes).

Exemple de codage - Optimisation globale déterministe

L'optimisation globale déterministe vise à trouver la solution optimale globale à un problème, en tenant compte de toutes les solutions possibles.

Dans le contexte de l'optimisation de portefeuille, un objectif commun est de maximiser le rendement du portefeuille pour un niveau de risque donné ou, de manière équivalente, de minimiser le risque pour un niveau de rendement donné.

Néanmoins, la mise en œuvre d'une véritable optimisation globale déterministe à partir de zéro peut s'avérer complexe et exigeante en termes de calcul.

Elle nécessite souvent des bibliothèques ou des algorithmes spécialisés.

Pour l'optimisation de portefeuille, une approche simplifiée peut consister à discrétiser l'espace de solution (c'est-à-dire à considérer un ensemble fini d'allocations possibles) et à évaluer la fonction objective à travers cette grille pour trouver la meilleure allocation.

Pour reprendre notre exemple courant, supposons que vous souhaitiez optimiser le portefeuille suivant, compte tenu des informations suivantes :

Actions : Rendement à terme de +6 %, volatilité annualisée de 15 % en utilisant l'écart type
Obligations : Rendement à terme de +4 %, volatilité annualisée de 10 % en utilisant l'écart-type
Matières premières : +3% de rendement à terme, 15% de volatilité annualisée en utilisant l'écart-type
Or : +3% de rendement à terme, 15% de volatilité annualisée en utilisant l'écart-type +3 % de rendement à terme, 15 % de volatilité annualisée en utilisant l'écart-type

L'exemple Python ci-dessous illustre une approche simplifiée de la recherche d'une répartition optimale du portefeuille entre les actions, les obligations, les matières premières et l'or (dans le but de maximiser les rendements pour un niveau de risque donné).

Cet exemple utilise une recherche brute sur un espace d'allocation discrétisé :

import numpy as np

# Portfolio assets expected return & standard deviation (volatility)
assets_return = np.array([0.06, 0.04, 0.03, 0.03]) # Expected returns
assets_volatility = np.array([0.15, 0.10, 0.15, 0.15]) # Vol

# "Discretize the solution space" = generate all possible allocations in 10% increments
allocation_space = np.array(np.meshgrid(np.arange(0, 1.1, 0.1), np.arange(0, 1.1, 0.1),
np.arange(0, 1.1, 0.1), np.arange(0, 1.1, 0.1))).T.reshape(-1, 4)

# Filter allocations that sum to 1
valid_allocations = allocation_space[np.sum(allocation_space, axis=1) == 1]

# Function to calculate portfolio return & vol
def portfolio_performance(weights, returns, volatility):
portfolio_return = np.dot(weights, returns)
# Simplification: ignoring correlations for volatility calculation
portfolio_volatility = np.sqrt(np.dot(weights**2, volatility**2))
return portfolio_return, portfolio_volatility

# Target volatility: set a target for portfolio vol
target_volatility = 0.10

# Initialize variables to store the best allocation
best_return = 0
best_allocation = None

# Brute-force search over valid allocations
for allocation in valid_allocations:
p_return, p_volatility = portfolio_performance(allocation, assets_return, assets_volatility)
if p_volatility <= target_volatility and p_return > best_return:
best_return = p_return
best_allocation = allocation

print("Best Allocation:", best_allocation)
print("Expected Return:", best_return)

Optimisation globale déterministe vs. programmation quadratique vs. programmation non linéaire vs. programmation en nombres mixtes vs. programmation stochastique

L'optimisation globale déterministe se concentre sur la recherche de l'optimum global d'un problème d'optimisation avec certitude, ce qui garantit que la solution est la meilleure dans l'ensemble de l'espace de solution.

Cette approche explore systématiquement toutes les solutions possibles.

Elle est particulièrement efficace pour les problèmes où les optima locaux ne sont pas satisfaisants et où des optima globaux sont recherchés.

La DGO est applicable à divers types de fonctions mathématiques, y compris les paysages non linéaires et complexes, sans qu'il soit nécessaire que le problème soit convexe.

Programmation quadratique (QP)

La PQ consiste à optimiser une fonction objective quadratique soumise à des contraintes linéaires.

La QP est un cas spécifique de programmation non linéaire (PNL) où la fonction objectif et les contraintes sont respectivement quadratiques et linéaires.

Le DGO peut résoudre des problèmes de QP, mais il est plus général, car la QP se concentre sur des problèmes ayant une forme particulière et peut ne pas garantir l'optimalité globale, à moins que le problème ne soit convexe.

Programmation non linéaire (PNL)

La programmation non linéaire consiste à optimiser une fonction objective soumise à des contraintes d'égalité et d'inégalité, lorsque la fonction objective ou l'une des contraintes, ou les deux, sont non linéaires.

Les techniques de programmation non linéaire visent souvent à trouver des optima locaux, et des méthodes spéciales sont nécessaires pour s'assurer de l'optimalité globale.

En revanche, la DGO recherche intrinsèquement des solutions globales, mais peut être plus exigeante en termes de calcul que les méthodes de PNL conçues pour l'optimisation locale.

Programmation en nombres entiers mixtes (MIP)

La programmation mixte en nombres entiers concerne des problèmes d'optimisation où certaines des variables de décision sont contraintes d'être des nombres entiers.

Un exemple serait la nécessité d'acheter un nombre entier d'actions d'une société, étant donné qu'un algorithme pourrait vous dire d'acheter un nombre fractionnaire d'actions si vous n'imposez pas de contraintes.

Le MIP peut traiter des problèmes linéaires et non linéaires, ce qui le rend polyvalent pour les tâches d'optimisation discrète, telles que les problèmes d'ordonnancement et d'allocation.

Alors que la DGO peut traiter des problèmes avec des variables entières mixtes, la MIP cible spécifiquement ces aspects discrets et utilise des algorithmes spécialisés pour les résoudre, tels que le branch-and-bound ou les plans de coupe, qui peuvent ne pas garantir l'optimalité globale dans les cas non linéaires.

Programmation stochastique (PS)

La PS traite des problèmes d'optimisation impliquant une incertitude dans les données (c'est-à-dire des processus stochastiques).

Les modèles PS intègrent le caractère aléatoire des données du problème.

Ils visent à trouver des solutions qui sont réalisables pour plusieurs scénarios ou qui optimisent la valeur attendue d'une fonction objective.

Contrairement au DGO, qui recherche des solutions déterministes, le PS prend explicitement en compte l'incertitude, de sorte qu'il aboutit à des solutions robustes en cas de résultats différents.

Par exemple, si la PS est appliquée à l'optimisation d'une approche de parité des risques ou d'une approche "tous temps", elle structurera le portefeuille de manière à ce qu'il puisse prospérer dans n'importe quelle condition ou environnement de marché, et pas seulement dans celui qui est généralement favorable aux approches centrées sur les actions.

Le DGO pourrait être appliqué aux équivalents déterministes des problèmes stochastiques ou utilisé dans une approche basée sur des scénarios, mais il ne modélise pas intrinsèquement l'incertitude comme le fait le PS .

Conclusion

L'optimisation globale déterministe peut être utilisée pour résoudre des problèmes d'optimisation complexes dans le domaine du commerce et de l'investissement.

Son approche mathématique garantit que les solutions ne sont pas seulement localement optimales, mais qu'elles sont les meilleures parmi toutes les options possibles.

En rapport:

#1 09-02-2024 13:29:32