Programmation en nombres entiers mixtes dans le trading

Climax · 09-02-2024 00:29:10

Programmation en nombres entiers mixtes dans le trading et l'investissement (exemple de codage)

La programmation en nombres entiers mixtes (MIP) est une forme spécialisée d'optimisation mathématique.

Elle est utilisée pour résoudre des problèmes qui nécessitent une prise de décision par étapes discrètes, souvent sous des contraintes et des variables complexes.

Dans le contexte du trading et de l'investissement, la MIP permet de créer des modèles capables de gérer une série de décisions de trading/investissement, de l'optimisation de portefeuille aux stratégies d'exécution d'ordres.

Principaux enseignements

Polyvalence

La programmation en nombres entiers mixtes (MIP) peut prendre en compte des variables continues et discrètes.
Elle permet de prendre des décisions précises en matière de portefeuille, notamment en ce qui concerne la sélection et la quantité des actifs.

Gestion de contraintes complexes

La programmation en nombres entiers mixtes intègre des contraintes complexes du monde réel, telles que les seuils d'achat minimum et l'inclusion d'actifs catégoriels.

Optimisation stratégique

Permet d'optimiser les stratégies de trading qui impliquent des décisions binaires, telles que les signaux on/off pour les transactions algorithmiques.

Exemple de codage

Vous trouverez ci-dessous un exemple de codage MIP.

Optimisation de portefeuille avec la MIP

Construction de portefeuilles efficaces

Dans le domaine de la gestion de portefeuille, le modèle MIP est utilisé pour construire des portefeuilles efficients.

Il prend en compte la nature discrète des actions (vous ne pouvez normalement pas acheter une fraction d'action, bien que certains brokers le permettent) et intègre diverses contraintes telles que :

les coûts de transaction
les contraintes de cardinalité (qui limitent le nombre d'actifs dans un portefeuille), et
les lots de transactions minimums.

Il en résulte des portefeuilles qui ne sont pas seulement bons d'un point de vue théorique, mais aussi pratiques et exécutables.

Gestion des coûts de transaction et de l'impact sur le marché

Les modèles MIP prennent en compte les coûts de transaction, l'impact du marché et les slippages de prix potentiels dans leurs calculs.

Cela permet de s'assurer que le portefeuille optimisé prend en compte les implications réelles des transactions importantes.

Cela permet d'éviter les stratégies qui semblent bonnes sur le papier mais qui sont coûteuses à mettre en œuvre.

Exécution des ordres et trading

Stratégies de trading algorithmique

Dans le cadre du trading algorithmique, la MIP est utilisée pour développer des stratégies qui décident non seulement de ce qu'il faut négocier, mais aussi comment et quand le faire.

Elle garantit que les ordres sont exécutés de manière à minimiser l'impact sur le marché, les coûts de transaction et l'exposition au risque, tout en tenant compte de contraintes telles que la taille de l'ordre, le calendrier et les conditions du marché.

Programmation et timing des transactions

La MIP aide à programmer les transactions afin d'en optimiser l'exécution.

Il peut prendre en compte des facteurs tels que

la liquidité du marché
la volatilité, et
l'impact du trader sur le marché (souvent négligé)...

...afin de déterminer le calendrier d'exécution le plus rentable.

Gestion des risques et conformité

Respecter les contraintes réglementaires

Les modèles MIP sont capables d'intégrer les règles de conformité réglementaires et internes dans le processus.

Il s'agit notamment des contraintes relatives aux limites de position, à l'effet de levier, à la concentration et à la liquidité.

Cela garantit que les portefeuilles sont non seulement optimisés, mais aussi pleinement conformes aux normes réglementaires.

Tests de résistance et analyse de scénarios

MIP permet d'effectuer des tests de résistance des portefeuilles dans le cadre de divers scénarios de marché.

En simulant des conditions de marché extrêmes et en ajustant les variables entières en conséquence, les modèles MIP peuvent aider à comprendre l'impact potentiel des événements de marché sur la performance et le risque des portefeuilles.

Les mathématiques derrière la programmation en nombres entiers mélangés (MIP)

La forme standard d'un MIP est la suivante

Minimiser : cT*x

Sous réserve de :

Ax ≤ b (contraintes d'inégalité)
Aeqx = beq (contraintes d'égalité)
x ≥ 0 (non-négativité)
xj ∈ Z, j ∈ K (contraintes sur les entiers)

Où :

x = vecteur des variables de décision
c = vecteur des coefficients de la fonction objective A
Aeq = matrices de contraintes b,
beq = vecteurs de contraintes du côté droit
K = ensemble d'indices pour les variables à contraintes entières

(Et * signifie une multiplication matricielle standard entre les vecteurs et les matrices).

Caractéristiques principales

L'objectif et les contraintes sont linéaires, comme dans le cas de la programmation linéaire classique. Cela permet de conserver la convexité et la structure.
Un sous-ensemble K de variables de décision x ne peut prendre que des valeurs entières. Toutes les autres variables peuvent être continues.
Cette exigence d'intégralité conduit à une région réalisable discrète et non convexe. La recherche de l'optimum est NP-hard*.

Les méthodes de résolution MIP s'appuient sur le branch-and-bound ainsi que sur des relaxations LP pour partitionner et réduire progressivement la région réalisable afin de trouver une solution optimale en nombres entiers.

Les mathématiques combinent donc les programmes linéaires et l'intégralité, ce qui augmente la complexité du problème.

Des algorithmes sont utilisés pour rendre ces problèmes calculables.

*NP-hard fait référence à une classe de problèmes informatiques qui sont au moins aussi difficiles à résoudre que les problèmes les plus difficiles de l'ensemble des problèmes NP (Nondeterministic Polynomial time).

Cela signifie que les problèmes NP-hard n'ont pas d'algorithmes efficaces (en temps polynomial) connus pour les résoudre.

Les contraintes en nombres entiers des programmes linéaires en nombres entiers mixtes (MILP) les rendent NP-hard. Cela signifie qu'il n'existe aucun algorithme connu en temps polynomial capable de résoudre de manière optimale des MILP arbitraires.

La source de la complexité est l'explosion combinatoire des solutions possibles causée par les contraintes sur les nombres entiers. Lorsque le nombre de variables entières augmente, le nombre de combinaisons croît de manière exponentielle.

La résolution des MILP est donc beaucoup plus complexe que la programmation linéaire classique. Nous devons chercher intelligemment dans l'espace exponentiel des solutions pour trouver l'optimum.

C'est pourquoi, dans la pratique, les algorithmes de résolution de MILP tels que le branch-and-cut ne trouvent pas nécessairement la solution optimale en un temps raisonnable.

Mais ils utilisent des techniques sophistiquées pour trouver des solutions de haute qualité ou prouver les limites d'optimalité.

Développements et défis futurs

Traitement des non-linéarités et du Big Data

Les défis comprennent la gestion des non-linéarités dans la dynamique du marché et l'intégration des données massives dans les modèles MIP.

Cela nécessite des algorithmes sophistiqués et de la puissance de calcul pour traiter et analyser de grands volumes de données pour une prise de décision en temps réel.

Intégration avec l'IA et l'apprentissage automatique

L'intégration du modèle MIP à l'IA et à l'apprentissage automatique est prometteuse.

L'apprentissage automatique peut aider à mieux prévoir les conditions du marché et les mouvements des prix des actifs, tandis que le modèle MIP peut utiliser ces prévisions pour prendre des décisions de trading discrètes.

La finance évolue de plus en plus dans ce sens.

Exemple de codage - Programmation en nombres entiers mixtes (PIM)

Comme nous l'avons vu, la programmation mixte en nombres entiers est utilisée dans l'optimisation de portefeuille lorsque des contraintes exigent des solutions entières, par exemple lorsque certains actifs ne peuvent être achetés qu'en quantités entières ou lorsqu'il s'agit de décider d'inclure ou d'exclure entièrement un actif (décision binaire).

À des fins de démonstration, disons que nous voulons optimiser le portefeuille ci-dessous avec une contrainte qui ne permet de détenir qu'un maximum de trois des quatre types d'actifs, ce qui introduit un aspect de décision binaire.

Le portefeuille dans lequel nous devons choisir 3 des 4 types d'actifs suivants :

Actions : Rendement à terme de +6%, volatilité annualisée de 15% en utilisant l'écart type
Obligations : Rendement à terme de +4 %, volatilité annualisée de 10 % en utilisant l'écart type
Matières premières : +3% de rendement à terme, 15% de volatilité annualisée en utilisant l'écart-type
Or : +3% de rendement à terme, 15% de volatilité annualisée en utilisant l'écart-type Rendement à terme de +3 %, volatilité annualisée de 15 % en utilisant l'écart type

Nous utiliserons la bibliothèque Python PuLP pour cet exemple, car elle est bien adaptée à la programmation linéaire et en nombres entiers mélangés.

Si PuLP n'est pas déjà installée dans votre environnement, vous pouvez l'installer à l'aide de pip :

pip install pulp

Cet extrait de code met en place et résout le problème de programmation mixte en nombres entiers :

import pulp as pl

# Define the problem
problem = pl.LpProblem("Portfolio_Optimization", pl.LpMaximize)

# Decision variables: allocations to each asset, and binary inclusion variables
stocks_alloc = pl.LpVariable("Stocks_Allocation", 0, 1)
bonds_alloc = pl.LpVariable("Bonds_Allocation", 0, 1)
commodities_alloc = pl.LpVariable("Commodities_Allocation", 0, 1)
gold_alloc = pl.LpVariable("Gold_Allocation", 0, 1)

stocks_include = pl.LpVariable("Stocks_Include", 0, 1, cat='Binary')
bonds_include = pl.LpVariable("Bonds_Include", 0, 1, cat='Binary')
commodities_include = pl.LpVariable("Commodities_Include", 0, 1, cat='Binary')
gold_include = pl.LpVariable("Gold_Include", 0, 1, cat='Binary')

# Objective function: Maximize expected portfolio return
problem += 0.06 * stocks_alloc + 0.04 * bonds_alloc + 0.03 * commodities_alloc + 0.03 * gold_alloc, "Total_Return"

# Constraints
problem += stocks_alloc + bonds_alloc + commodities_alloc + gold_alloc == 1, "Total_Allocation"
problem += stocks_alloc - stocks_include <= 0, "Stocks_Inclusion"
problem += bonds_alloc - bonds_include <= 0, "Bonds_Inclusion"
problem += commodities_alloc - commodities_include <= 0, "Commodities_Inclusion"
problem += gold_alloc - gold_include <= 0, "Gold_Inclusion"
problem += stocks_include + bonds_include + commodities_include + gold_include <= 3, "Max_Assets"

# Solve the problem
problem.solve()

# Print the results
for variable in problem.variables():
print(f"{variable.name}: {variable.varValue}")

if pl.LpStatus[problem.status] == 'Optimal':
print("Solution is optimal.")
else:
print("Solution not found.")

Cette configuration introduit une variable de décision binaire pour chaque type d'actif, qui détermine si un actif est inclus dans le portefeuille.

L'objectif est de maximiser le rendement attendu du portefeuille, sous réserve que l'allocation totale soit égale à 100 % et qu'il ne soit pas possible d'inclure plus de trois types d'actifs.

Il s'agit d'un exemple simplifié visant à démontrer l'utilisation de la méthode MIP pour l'optimisation de portefeuilles.

Les applications réelles peuvent impliquer des contraintes et des objectifs plus complexes.

Conclusion

La programmation mixte en nombres entiers offre une approche structurée pour résoudre des problèmes complexes dans le domaine du trading/investissement.

Elle fournit un cadre permettant de prendre en compte une multitude de facteurs et de contraintes, ce qui peut déboucher sur des stratégies non seulement théoriques, mais aussi pratiques et conformes aux exigences réglementaires.

La MIP dans le domaine du trading et de l'investissement est susceptible de prendre de l'importance, en particulier avec l'intégration de techniques de calcul et d'analyse de données plus avancées au fil du temps.

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