#1 04-02-2024 16:43:42

Climax

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Modèle stochastique Alpha, Beta, Rho (SABR)

Le modèle Stochastic Alpha, Beta, Rho (SABR) est largement utilisé en ingénierie financière dans le contexte de l'évaluation des produits dérivés de taux d'intérêt.

Il est conçu pour capturer le smile de volatilité sur les marchés des produits dérivés.

Le modèle SABR est un type de modèle de volatilité stochastique et a été développé par Patrick Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski et Diana Woodward en 2002.

Principaux enseignements:

Modélisation du smile de volatilité

• Le modèle SABR permet de bien capturer le smile de volatilité sur les marchés de produits dérivés.

• Il fournit un cadre de tarification plus précis pour les options (principalement les dérivés de taux d'intérêt).

Représentation dynamique de la volatilité

• Le modèle SABR tient compte de la nature stochastique de la volatilité et de la corrélation entre le prix de l'actif et sa volatilité, ce qui permet d'améliorer la précision des prix.

Flexibilité entre les actifs

• L'adaptabilité du modèle SABR lui permet de s'appliquer à un large éventail d'instruments financiers, même s'il nécessite un calibrage minutieux en fonction des conditions spécifiques du marché.

Composantes du modèle SABR

Les principaux éléments du modèle SABR sont les suivants

Alpha (α)

Représente la volatilité de l'actif sous-jacent.

Dans le modèle SABR, cette volatilité n'est pas constante mais suit un processus stochastique.

Bêta (β)

Détermine la nature de l'actif sous-jacent.

Un β de 1 implique un processus lognormal (similaire au modèle Black-Scholes), et un β de 0 implique un processus normal.

D'autres valeurs de β interpolent entre ces deux processus.

Rho (ρ)

Mesure la corrélation entre le prix de l'actif et sa volatilité.

Un ρ positif indique que plus le prix de l'actif augmente, plus sa volatilité augmente, et vice versa.

Nu (ν)

Représente la volatilité de la volatilité, c'est-à-dire la variation de la volatilité elle-même.

Équations du modèle SABR

Voici les équations du modèle SABR :

• dF = rFdt + σF^βdW

• dσ = ασdZ

• ρdt = ρdZdW

Où :

• F = prix à terme

• r = taux d'intérêt sans risque

• σ = volatilité

• β = paramètre d'élasticité (0 < β < 1)

• dW = processus de Wiener pour le prix à terme

• dZ = processus de Wiener pour la volatilité

• α = volatilité de la volatilité

• ρ = corrélation entre dW et dZ

Les éléments clés sont les équations différentielles stochastiques qui modélisent la dynamique du prix à terme F et de la volatilité σ.

β contrôle le smile de la volatilité, α contrôle la volatilité de la volatilité, et ρ contrôle la corrélation entre les deux processus de Wiener

Forces et faiblesses du modèle SABR

Points forts

Le modèle SABR est intéressant en raison de sa capacité à gérer diverses conditions de marché et de sa flexibilité à s'adapter à différentes formes de volatilités implicites.

Il est particulièrement utile dans le contexte des options sur taux d'intérêt, car il peut modéliser la forme évolutive de la courbe de volatilité implicite sans nécessiter un grand nombre de paramètres.

La formule originale du modèle SABR fournit une approximation de la volatilité implicite en termes de paramètres du modèle, ce qui est particulièrement utile pour les praticiens.

Points faibles

Bien qu'il ne s'agisse pas d'un point faible en soi, le modèle nécessite généralement des méthodes numériques pour la calibration et l'évaluation des options.

En ce qui concerne les limites du modèle SABR, il peut avoir tendance à faiblir dans des conditions de marché extrêmes.

Comme pour tout modèle, il est essentiel de comprendre ces limites et d'appliquer le modèle de manière judicieuse.

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