Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions: Récentes | Sans réponse
#1 05-11-2023 19:04:15
- Climax
- Administrateur
- Inscription: 30-08-2008
- Messages: 6 456
Outils mathématiques en finance - Termes, définitions et aperçu thématique
Nous examinons ici quelques termes et définitions qui constituent un aperçu général et raisonnablement complet des outils mathématiques en finance.
Principaux enseignements
Cette vue d'ensemble met en évidence les principaux outils mathématiques en finance.
Les techniques d'optimisation, la méthode Monte Carlo pour les solutions numériques, l'analyse réelle et les EDP pertinentes en finance sont également abordées.
Les concepts de probabilité, les différentes distributions et le calcul stochastique avec des processus tels que le mouvement brownien sont abordés.
Près de 50 concepts sont couverts.
Outils mathématiques en finance
Analyse asymptotique
Processus consistant à déterminer le comportement d'une fonction lorsque ses arguments s'approchent d'une limite, souvent l'infini.
Équation différentielle stochastique à rebours (EDRS)
Une équation différentielle stochastique à rebours peut être utilisée en finance pour déterminer le prix d'un dérivé financier, lorsque la condition finale (gain) est connue.
Nous recherchons le prix initial, en travaillant à rebours à partir du résultat connu.
Calcul
Branche des mathématiques traitant des dérivés et des intégrales, utilisée pour analyser les taux de changement et d'accumulation.
Copules, y compris les copules gaussiennes
Les copules en finance sont utilisées pour modéliser et analyser la distribution conjointe de différents rendements d'actifs, en saisissant la façon dont ils évoluent ensemble et en permettant une évaluation plus précise du risque de portefeuille.
Les copules gaussiennes impliquent spécifiquement des distributions normales multivariées.
Équations différentielles
Les équations différentielles en finance sont utilisées pour modéliser les changements continus sur les marchés financiers, tels que l'évolution des prix des actions dans le temps ou les mouvements des taux d'intérêt.
Valeur attendue
Moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire, les poids étant leurs probabilités respectives.
Voir aussi : Valeur attendue
Théorie ergodique
Une branche des mathématiques qui étudie les propriétés statistiques des systèmes dynamiques déterministes à travers les moyennes temporelles.
Dans cet article, nous examinons également comment l'économie ergodique peut remettre en question les modèles traditionnels de valeur attendue lorsqu'un tel jeu et ses conséquences sont considérés à travers le temps.
Formule de Feynman-Kac
Représentation de la solution de certaines EDP à l'aide de l'espérance de processus stochastiques, en particulier le mouvement brownien.
Finance quantitative
Domaine qui applique des méthodes mathématiques et statistiques aux marchés financiers et à l'évaluation des titres.
Transformée de Fourier
Transformation mathématique qui décompose les fonctions en leurs fréquences constitutives.
En finance, la transformée de Fourier est utilisée pour évaluer plus efficacement les modèles d'évaluation des options en transformant les équations différentielles en équations algébriques plus faciles à résoudre.
Par exemple, elle permet de calculer rapidement les fonctions caractéristiques des prix des options, qui peuvent être inversées pour obtenir les prix réels des options.
Théorème de Girsanov
Résultat du calcul stochastique qui décrit comment modifier les mesures de probabilité pour supprimer la dérive d'un processus stochastique.
Il simplifie certains types d'analyse probabiliste en finance.
Un exemple d'utilisation du théorème de Girsanov est la tarification des produits financiers dérivés, où il peut être utilisé pour convertir la probabilité réelle des mouvements de prix des actions en une probabilité neutre par rapport au risque.
Cela suppose l'absence d'opportunités d'arbitrage et fait du rendement attendu de l'action le taux sans risque (ce qui simplifie le modèle de tarification).
Lemme d'Itô
Un résultat clé du calcul stochastique, qui fournit la différentielle d'une fonction d'un processus stochastique.
Le lemme d'Itô est important car il permet de déterminer le comportement stochastique d'une fonction d'un processus stochastique.
Ceci est important en mathématiques financières pour modéliser le mouvement aléatoire des prix des options dans le temps.
Théorème de représentation de Martingale
Théorème stipulant que toute martingale peut être représentée comme une intégrale par rapport à un processus prévisible par rapport au mouvement brownien.
Modèles mathématiques
Constructions quantitatives représentant des systèmes par le biais de concepts et d'un langage mathématiques.
Optimisation mathématique
La sélection du meilleur élément, au regard de certains critères, parmi un ensemble d'alternatives disponibles.
Par exemple, en finance, on peut vouloir maximiser le rendement pour chaque unité de risque comme type d'optimisation.
Il existe cependant d'autres formes d'optimisation.
Programmation linéaire
Technique d'optimisation d'une fonction objective linéaire, soumise à des contraintes d'égalité et d'inégalité linéaires.
En finance, la programmation linéaire pourrait être utilisée pour l'optimisation d'un portefeuille d'investissement lorsqu'un trader souhaite maximiser les rendements d'une sélection d'actions tout en respectant un budget fixe.
La relation entre les montants investis et les rendements est souvent supposée linéaire pour simplifier ces modèles.
Programmation non linéaire
Le processus de résolution des problèmes d'optimisation où la fonction objective ou les contraintes sont non linéaires.
Un exemple de programmation non linéaire dans le domaine financier pourrait concerner un trader qui souhaite choisir une combinaison d'actions et d'obligations afin de maximiser le rendement attendu de son portefeuille pour un niveau de risque donné.
Le compromis risque-rendement n'est pas linéaire mais suit une relation non linéaire plus complexe.
Programmation quadratique
Méthode d'optimisation permettant de résoudre des problèmes avec une fonction objective quadratique et des contraintes linéaires.
Pour la programmation quadratique en finance, considérons une situation où un trader cherche à minimiser le risque de son portefeuille d'investissement, où le risque est exprimé comme la variance des rendements du portefeuille - une fonction quadratique.
Le trader devra équilibrer le portefeuille entre différents actifs tout en maintenant le niveau souhaité de rendement attendu.
Méthode de Monte Carlo
Un algorithme de calcul qui s'appuie sur un échantillonnage aléatoire répété pour obtenir des résultats numériques.
Analyse numérique
L'étude des algorithmes qui utilisent l'approximation numérique pour les problèmes d'analyse mathématique.
En finance, l'analyse numérique peut être utilisée pour estimer la juste valeur de produits financiers dérivés complexes lorsqu'une solution analytique exacte n'est pas possible.
Quadrature gaussienne
Méthode d'intégration numérique utilisant la distribution gaussienne pour choisir les points d'échantillonnage et les poids.
La quadrature gaussienne peut être utilisée en finance pour calculer plus efficacement la valeur attendue du gain d'un dérivé financier, qui nécessite une intégration sur certaines distributions de probabilité.
Analyse réelle
Branche des mathématiques traitant de l'ensemble des nombres réels et des fonctions de variables réelles.
L'analyse réelle peut être appliquée en finance pour comprendre le comportement des mouvements de prix des actions ou pour examiner la convergence d'un algorithme financier qui prédit les tendances du marché.
Equations différentielles partielles
Équations impliquant des fonctions multivariables inconnues et leurs dérivées partielles.
Équation de la chaleur
Une EDP décrivant la distribution de la chaleur au fil du temps dans un espace donné.
L'équation de la chaleur est analogue à l'équation de Black-Scholes utilisée pour évaluer les options, décrivant comment la valeur d'une option se diffuse dans le temps en fonction des fluctuations du prix de l'actif sous-jacent.
Équations différentielles partielles numériques
L'étude des méthodes numériques pour l'approximation des EDP.
Méthode de Crank-Nicolson
Méthode numérique utilisée pour résoudre les équations de chaleur et de diffusion avec une précision de second ordre à la fois dans le temps et dans l'espace.
En finance, la méthode de Crank-Nicolson est utilisée pour créer des modèles de prix stables et précis pour les options et les produits dérivés en simulant les changements dans le temps, en se concentrant sur les équations thermiques ou de diffusion (traditionnellement du ressort de la physique).
Méthode des différences finies
Technique numérique permettant de résoudre des équations différentielles par l'approximation des dérivées à l'aide de différences finies.
La méthode des différences finies est appliquée en finance pour résoudre des équations différentielles partielles telles que l'équation de Black-Scholes - c'est-à-dire qu'elle est utilisée pour déterminer le prix des options en approximant les changements de la valeur de l'option dans le temps et les mouvements du prix de l'actif sous-jacent.
Probabilité
Mesure quantifiant la probabilité que des événements se produisent.
Distributions de probabilités
Fonctions mathématiques qui donnent les probabilités d'occurrence des différents résultats possibles d'une expérience.
Distribution binomiale
Distribution de probabilité qui résume la probabilité qu'une valeur prenne l'un des deux états indépendants sur un nombre fixe d'itérations.
La distribution binomiale peut être utilisée pour modéliser les mouvements de prix d'un actif, en supposant généralement un mouvement "à la hausse" ou "à la baisse" avec des probabilités fixes.
Les exemples incluent la tarification des options binaires ou le modèle de l'arbre binomial pour les options américaines.
Distribution SU de Johnson
Une famille polyvalente de distributions de probabilité à quatre paramètres qui peut prendre les caractéristiques de la plupart des distributions courantes.
La distribution SU de Johnson est utilisée en finance pour modéliser les rendements des actifs avec asymétrie et aplatissement, ce qui permet une meilleure adaptation aux distributions réelles des rendements des titres que la distribution normale, en particulier pour la gestion des risques et l'évaluation des options.
Distribution log-normale
Distribution de probabilité d'une variable aléatoire dont le logarithme est normalement distribué.
Distribution t de Student
Une distribution de probabilité qui apparaît lors de l'estimation de la moyenne d'une population normalement distribuée dans des situations où la taille de l'échantillon est petite et où l'écart-type de la population est inconnu.
Fonctions quantile
Les fonctions inverses des fonctions de distribution cumulative, déterminant la valeur en dessous de laquelle se situe un pourcentage donné d'observations dans un groupe d'observations.
Dérivée de Radon-Nikodym
Dérivée d'une mesure par rapport à une autre mesure, utilisée en particulier dans le contexte de mesures absolument continues.
La dérivée de Radon-Nikodym est utilisée pour ajuster les probabilités dans l'évaluation neutre du risque.
Elle permet d'évaluer les produits dérivés dans le cadre d'une nouvelle mesure où les prix actualisés des actifs sont des martingales.
Mesure de neutralité à l'égard du risque
Une mesure de probabilité dans laquelle la valeur actualisée d'un paiement est égale à son prix de marché actuel.
Optimisation de scénario
Un cadre d'optimisation pour les problèmes dans l'incertitude, où l'objectif est de trouver des solutions qui fonctionnent bien à travers une gamme de scénarios.
Calcul stochastique
Branche des mathématiques qui opère sur les processus stochastiques et fournit des outils pour modéliser les systèmes aléatoires.
Mouvement brownien
Processus stochastique décrivant le mouvement continu et aléatoire de particules en suspension dans un fluide.
En finance, le mouvement brownien est utilisé pour modéliser le comportement aléatoire du prix des actifs dans le temps dans le modèle Black-Scholes et d'autres modèles financiers.
Processus de Lévy
Processus stochastique dont les incréments sont stationnaires et indépendants, généralisant le mouvement brownien et les processus de Poisson.
En finance, un processus de Lévy peut modéliser des mouvements aléatoires plus complexes dans les prix des actifs, en permettant des sauts, contrairement au mouvement brownien continu.
Voir aussi : Les semi-martingales en finance
Équation différentielle stochastique
Une équation utilisée pour modéliser des systèmes qui évoluent dans le temps avec une tendance déterministe et des fluctuations aléatoires.
Les équations différentielles stochastiques sont utilisées pour modéliser la dynamique des prix des produits financiers dérivés et des actifs.
Elles permettent de rendre compte de la nature "aléatoire" des marchés.
Optimisation stochastique
Méthodes d'optimisation qui prennent en compte l'incertitude inhérente aux paramètres et à l'environnement.
En finance, l'optimisation stochastique consiste à trouver des solutions optimales dans des conditions de marché imprévisibles, par exemple dans le cadre de l'allocation de portefeuille et de l'évaluation des produits dérivés.
Volatilité stochastique
Propriété des marchés financiers où la volatilité des prix des actifs est elle-même un processus aléatoire.
Les modèles de volatilité stochastique en finance décrivent comment l'imprévisibilité des mouvements de prix d'un actif évolue dans le temps, ce qui est important pour l'évaluation des options et la gestion des risques.
Analyse de survie
Une branche de la statistique qui traite de la mort des organismes biologiques et de la défaillance des systèmes mécaniques.
En finance, l'analyse de survie peut être utilisée pour estimer la "durée de vie" des investissements ou pour prédire le temps qui s'écoulera jusqu'à un événement tel qu'une défaillance ou l'atteinte d'un certain seuil de prix.
Valeur à risque (VaR)
Technique statistique utilisée pour mesurer et quantifier le niveau de risque financier au sein d'une entreprise ou d'un portefeuille d'investissement sur une période donnée.
Volatilité
Mesure statistique de la dispersion des rendements d'un titre ou d'un indice de marché donné, souvent quantifiée comme l'écart-type ou la variance des rendements.
Modèle ARCH
Modèle économétrique permettant de modéliser l'évolution de la variance dans le temps en fonction des variances passées, conçu pour les données de séries chronologiques.
Le modèle ARCH est utilisé en finance pour mesurer et prédire la volatilité variable dans le temps des rendements financiers - par exemple, pour la gestion des risques et l'évaluation des produits dérivés.
Modèle GARCH
Version généralisée du modèle ARCH qui inclut des variances prévisionnelles décalées en plus des variances réelles décalées pour prédire la volatilité future.
Le modèle GARCH est utilisé en finance pour prévoir la volatilité future des titres financiers sur la base de leur propre variance passée et des variances prévisionnelles passées.
Il permet d'améliorer les modèles de risque et d'évaluation des instruments financiers.
Le trading de CFD implique un risque de perte significatif, il ne convient donc pas à tous les investisseurs. 74 à 89% des comptes d'investisseurs particuliers perdent de l'argent en négociant des CFD.
Hors ligne
- Utilisateurs enregistrés en ligne dans ce sujet: 0, invités: 1
- [Bot] CCBot