Modèles de taux court : Vasicek, Black-Derman-Toy, Chen et taux sans risque

Presque tous les actifs financiers sont évalués par rapport à un taux d'intérêt. Le prix d'une obligation, d'un swap, d'un cap ou d'une swaption dépend de la trajectoire future des taux d'intérêt, et la valeur d'une action se calcule en actualisant ses flux futurs à partir d'un taux sans risque. Pour raisonner sur ces trajectoires, les praticiens utilisent des modèles de taux court : des équations qui décrivent l'évolution du taux d'intérêt instantané et, à partir de lui, de toute la courbe des taux.

Ce guide part de la base, le taux sans risque et la façon dont on le mesure, puis présente les principaux modèles de taux court : Vasicek (1977), Black-Derman-Toy (1990) et Chen (1996), avec un rappel des modèles CIR et Hull-White. Pour chacun : l'équation, le sens des paramètres, un exemple chiffré quand c'est utile, les usages et les limites.

Qu'est-ce que le taux court ?

En finance, le taux court, noté r(t), désigne le taux d'intérêt applicable à un prêt d'une durée infiniment brève, contracté à l'instant t. On l'appelle aussi taux instantané. Il n'est pas directement observable, mais il s'approche par les taux au jour le jour : l'€STR en zone euro, le SOFR aux États-Unis, ou encore les taux des opérations de pension (repo).

Ce taux est au cœur de la théorie des taux d'intérêt pour une raison simple : si l'on connaît sa loi d'évolution, on peut en déduire le prix de toute obligation zéro-coupon, donc la courbe des taux entière, puis le prix des produits dérivés qui en dépendent. C'est pourquoi le taux court est presque toujours traité comme le taux sans risque instantané de l'économie.

Le taux sans risque : définition et mesure

Le taux d'intérêt sans risque est le rendement d'un placement qui ne présente aucun risque de défaut sur une période donnée. Il sert de référence pour juger toutes les autres options d'investissement : un placement plus risqué n'a d'intérêt que s'il rapporte davantage, et cet écart s'appelle la prime de risque.

En pratique, on le mesure avec les titres d'État d'un pays solvable émis dans sa propre monnaie, car l'État dispose de la capacité de lever l'impôt et, indirectement, de sa banque centrale. Le titre retenu dépend de l'horizon de l'investissement :

• court terme (moins d'un an) : bons du Trésor (BTF en France, T-bills aux États-Unis) ;
• moyen terme (1 à 10 ans) : obligations d'État de maturité intermédiaire (T-notes, OAT de 2 à 10 ans) ;
• long terme (au-delà de 10 ans) : obligations longues (OAT 10 ans et plus, T-bonds). L'OAT 10 ans, autour de 3,6 % mi-2026, est la référence la plus utilisée en France.

Les indicateurs du taux sans risque

Lorsqu'aucun titre d'État ne correspond exactement à l'horizon ou à la devise étudiés, plusieurs indicateurs servent d'approximation. Chacun a ses avantages et ses défauts.

Le paysage des taux de référence a beaucoup changé en quelques années. Le LIBOR, longtemps central et entaché par des affaires de manipulation, a cessé d'être publié à la mi-2023 ; le SOFR l'a remplacé pour le dollar. En zone euro, l'EONIA a disparu début 2022 au profit de l'€STR, tandis que l'EURIBOR, réformé, reste publié. Les courbes de swaps indexées sur ces taux au jour le jour (OIS) sont devenues la référence de taux sans risque pour valoriser les produits dérivés.

Taux sans risque nominal et taux réel

Le taux nominal est le taux affiché, sans correction de l'inflation. Le taux réel mesure le gain effectif de pouvoir d'achat. Les deux sont reliés par l'équation de Fisher, détaillée dans notre page sur l'effet Fisher :

Pour des taux faibles, on utilise l'approximation taux nominal ≈ taux réel + inflation. Avec une OAT 10 ans à 3,6 % et une inflation anticipée de 2 %, le taux réel sans risque ressort à environ 1,6 %. Le marché donne directement une mesure du taux réel à travers les obligations indexées sur l'inflation (OATi, TIPS).

Le choix entre les deux dépend des flux étudiés :

• pour des flux nominaux, comme les coupons d'une obligation à taux fixe, on actualise avec le taux nominal ;
• pour des flux indexés sur l'inflation, comme ceux d'une OATi, on utilise le taux réel ;
• dans l'évaluation d'un projet d'entreprise dont les flux croissent avec les prix, on reste en nominal, à condition de rester cohérent : flux nominaux avec taux nominal, flux réels avec taux réel ;
• pour l'analyse économique, le taux réel est souvent préféré, car il mesure le vrai coût de l'emprunt.

À quoi sert le taux sans risque ?

Le taux sans risque est un paramètre présent dans la plupart des calculs financiers.

• Le MEDAF (CAPM). Le rendement attendu d'un actif s'écrit E(R_i) = R_f + β_i × (E(R_m) − R_f), où R_f est le taux sans risque. Le modèle est détaillé dans notre page sur la prime de risque.
• L'actualisation des flux (DCF). Le taux d'actualisation d'une entreprise part du taux sans risque, auquel on ajoute une prime de risque, puis on pondère coût des fonds propres et coût de la dette dans le CMPC (WACC).
• La gestion de portefeuille. La performance ajustée du risque, par exemple le ratio de Sharpe, se mesure par rapport au taux sans risque.
• L'évaluation des options. Le modèle de Black-Scholes utilise le taux sans risque pour actualiser le prix d'exercice et pour définir la dérive du sous-jacent en univers risque-neutre.

Il sert aussi à ordonner les classes d'actifs selon le couple risque-rendement. Chaque marche de l'échelle doit offrir une prime supplémentaire pour attirer les capitaux :

Quand les primes de risque se compressent, les capitaux descendent l'échelle vers des actifs plus sûrs ; quand elles s'élargissent, ils la remontent. Comprendre ces primes aide à construire un portefeuille adapté à sa tolérance au risque et à diversifier de façon réfléchie.

Pourquoi modéliser le taux court ?

Un modèle de taux court a pour objet de décrire l'évolution possible des taux d'intérêt dans le temps, de façon cohérente. Cette description sert à plusieurs métiers :

• valoriser les instruments sensibles aux taux : obligations, obligations remboursables par anticipation, options sur taux d'intérêt, caps, floors, swaptions ;
• mesurer et couvrir le risque de taux d'un portefeuille ou d'un bilan bancaire (gestion actif-passif) ;
• simuler des scénarios pour les assureurs, les fonds de pension et les calculs de VaR ;
• analyser l'effet de la politique monétaire, y compris des mesures non conventionnelles comme l'assouplissement quantitatif, sur la courbe des taux.

Le cadre mathématique commun

Les modèles de taux court s'appuient sur le calcul stochastique, la branche des mathématiques consacrée aux processus aléatoires. Ils s'écrivent sous la forme d'une équation différentielle stochastique (EDS) générale :

• r(t) : le taux court à l'instant t ;
• μ(t, r) : la dérive, partie déterministe qui fixe la direction moyenne du taux ;
• σ(t, r) : la volatilité, qui règle l'ampleur des chocs ;
• dW(t) : l'accroissement d'un processus de Wiener, c'est-à-dire d'un mouvement brownien, qui représente l'aléa.

Chaque modèle se distingue par la forme qu'il donne à la dérive et à la volatilité. La plupart intègrent un retour à la moyenne : un taux très élevé freine l'économie et finit par baisser, un taux très bas finit par remonter. On distingue aussi deux grandes familles :

• les modèles d'équilibre (Vasicek, CIR, Chen), dont les paramètres sont fixes et qui produisent leur propre courbe des taux, en général différente de celle du marché ;
• les modèles sans arbitrage (Hull-White, Black-Derman-Toy), qui intègrent des fonctions du temps choisies pour reproduire exactement la courbe des taux observée, condition indispensable pour coter des dérivés.

Le modèle de Vasicek

Oldřich Vasicek et l'équation de son modèle

Le modèle de Vasicek porte le nom d'Oldřich Vasicek, qui l'a publié en 1977 dans l'article An Equilibrium Characterization of the Term Structure (Journal of Financial Economics). C'est l'un des premiers modèles à décrire l'évolution des taux d'intérêt avec le calcul stochastique, et le premier à intégrer le retour à la moyenne. Il reste le point de départ de la plupart des modèles qui ont suivi, dont le CIR et le Hull-White.

Le taux court y suit un processus d'Ornstein-Uhlenbeck :

L'équation se lit simplement. Le terme a (b − r_t) dt est une force de rappel : si le taux est au-dessus de b, il est tiré vers le bas, et inversement. Le terme σ dW_t ajoute un choc aléatoire d'ampleur constante. Résultat : le taux futur suit une loi normale, dont la moyenne et la variance se calculent explicitement :

Le modèle donne aussi une formule fermée pour le prix d'une obligation zéro-coupon, ce qui permet d'en déduire une courbe des taux complète à partir de quatre nombres seulement (r₀, a, b, σ).

Ses limites sont bien connues :

• les paramètres sont constants, ce qui ne correspond pas à des marchés dont le régime change ;
• la courbe produite par le modèle ne coïncide pas avec celle du marché, ce qui interdit de l'utiliser tel quel pour coter des dérivés ;
• la volatilité est la même pour toutes les échéances et tous les niveaux de taux ;
• le taux peut devenir négatif. Longtemps vu comme un défaut, ce point est devenu un atout après la période 2014-2022 où le taux de dépôt de la BCE était sous zéro.

Exemple chiffré avec le modèle de Vasicek

Prenons un taux court de départ de 2,50 %, un niveau de long terme b = 3 %, une vitesse de retour a = 0,3 et une volatilité σ = 1 % (100 points de base par an). La demi-vie d'un écart à la moyenne vaut ln(2) / a, soit environ 2,3 ans.

Deux enseignements. Le taux moyen glisse vers 3 % sans jamais l'atteindre tout à fait, et l'incertitude plafonne autour de 1,3 point au lieu de croître sans limite comme dans une marche aléatoire. C'est la signature du retour à la moyenne. Ensuite, la probabilité de taux négatifs reste faible ici, mais elle augmente vite si le taux de départ est bas ou si la volatilité est plus forte.

Avec ces paramètres, la formule fermée du modèle donne pour un zéro-coupon à 5 ans un prix de 87,26 pour 100 de nominal, soit un rendement de 2,73 % : le modèle produit une courbe légèrement croissante, parce que le taux court de départ est inférieur à sa moyenne de long terme.

Le modèle Black-Derman-Toy (BDT)

Emanuel Derman, co-auteur du modèle BDT

Le modèle Black-Derman-Toy a été développé chez Goldman Sachs par Fischer Black, l'un des pères du modèle Black-Scholes, Emanuel Derman et William Toy. Il a été publié en 1990 dans le Financial Analysts Journal sous le titre A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options. Il a été l'un des premiers modèles de taux largement adoptés par les salles de marché, parce qu'il répondait à leur besoin concret : coter des options sur obligations de façon cohérente avec les prix du marché.

Ses caractéristiques :

• c'est un modèle à un facteur : le taux court est la seule source d'aléa ;
• c'est un modèle sans arbitrage : il reproduit à la fois la courbe des taux du jour et la structure des volatilités observées ;
• il est lognormal : c'est le logarithme du taux qui suit une dynamique aléatoire, si bien que le taux reste toujours positif ;
• il se construit sur un arbre binomial, ce qui le rend facile à programmer et adapté aux produits à exercice anticipé.

En temps continu, il s'écrit :

• θ(t) : fonction du temps choisie pour que le modèle retrouve la courbe des taux zéro-coupon du marché ;
• σ(t) : volatilité du taux court, choisie pour retrouver la structure des volatilités de marché ;
• σ′(t) : dérivée de la volatilité par rapport au temps. Le retour à la moyenne n'existe dans le BDT que si la volatilité décroît avec l'horizon : la force de rappel et la volatilité sont liées, ce qui est une rigidité du modèle.

L'arbre binomial. En pratique, le BDT se construit pas à pas. À chaque date, le taux peut monter ou baisser, et les nœuds se recombinent. À une même date, deux nœuds voisins sont séparés d'un facteur e^2σ√Δt. Avec une volatilité de 20 % et des pas d'un an, ce facteur vaut e^0,4 ≈ 1,49 : si le nœud bas affiche 2,40 %, le nœud haut affiche environ 3,58 %. Le niveau de chaque date est ajusté pour que l'arbre retrouve le prix des zéro-coupons du marché. Une fois l'arbre construit, on valorise obligations et options par induction à rebours, en partant de l'échéance et en actualisant nœud par nœud.

Ses applications :

• valorisation des obligations à options intégrées, remboursables par anticipation (callable, les plus courantes) ou à option de revente (putable) ;
• valorisation des caps, floors et swaptions, y compris les produits à exercice anticipé (swaptions bermudiennes) ;
• gestion du risque de taux : en simulant des trajectoires de taux, on mesure l'effet d'un choc sur un portefeuille et on construit une couverture (ajustement de la duration, swaps de taux, options de taux).

Ses limites : un seul facteur, donc une courbe qui se déforme de façon trop rigide ; une impossibilité de décrire des taux négatifs ; un lien imposé entre volatilité et retour à la moyenne. Le modèle de Black-Karasinski (1991) l'a prolongé en séparant ces deux paramètres, tout en conservant la dynamique lognormale.

Le modèle de Chen à trois facteurs

Le modèle de Chen a été proposé par Lin Chen en 1996, dans l'ouvrage Interest Rate Dynamics, Derivatives Pricing, and Risk Management. Sa particularité est de ne plus considérer comme fixes la moyenne de long terme et la volatilité du taux court : elles deviennent elles-mêmes aléatoires. C'est un modèle à trois facteurs :

• Première équation : le taux court r revient vers une moyenne θ_t à la vitesse κ, avec des chocs dont l'ampleur dépend du niveau du taux (comme dans le CIR) et de la volatilité courante σ_t.
• Deuxième équation : la moyenne de long terme θ_t n'est pas figée. Elle revient elle-même vers un niveau ζ, avec ses propres chocs. Cela reproduit le fait que le « taux normal » de l'économie change avec les régimes monétaires.
• Troisième équation : la volatilité σ_t est stochastique et revient vers un niveau β. Les périodes calmes et les périodes agitées peuvent ainsi alterner.

Ces trois sources d'aléa permettent au modèle de produire des formes de courbe plus variées qu'un modèle à un facteur, et des phases de volatilité basse ou élevée, comme on en observe autour des tournants de politique monétaire. Le modèle reste dans la famille des modèles affines, ce qui permet d'obtenir des formules semi-explicites pour le prix des obligations.

En contrepartie, il compte beaucoup plus de paramètres (κ, ν, ζ, α, μ, β, η, plus les valeurs initiales), ce qui rend la calibration plus lourde : on ajuste les paramètres sur la courbe des taux et sur le prix d'options de taux, par maximum de vraisemblance ou moindres carrés. Ses usages sont ceux des autres modèles de taux court : valorisation de titres à revenu fixe et de dérivés de taux, gestion actif-passif des banques et des assureurs, mesure du risque de taux.

CIR et Hull-White en bref

Deux autres modèles de taux court sont incontournables. Nous leur consacrons un guide complet : modèles Hull-White et Cox-Ingersoll-Ross.

• Le modèle Cox-Ingersoll-Ross (1985) reprend le retour à la moyenne de Vasicek, mais rend la volatilité proportionnelle à la racine carrée du taux : dr = κ(θ − r)dt + σ√r dW. Les chocs s'atténuent quand le taux approche de zéro, si bien qu'il ne devient jamais négatif.
• Le modèle Hull-White (1990), appelé aussi Vasicek étendu, rend le niveau de retour à la moyenne variable dans le temps : dr = [θ(t) − a r]dt + σ dW. Il reproduit exactement la courbe des taux du marché, ce qui en fait l'un des modèles les plus utilisés pour valoriser et couvrir les dérivés de taux.

Le comparatif des modèles de taux court

Pour coter un produit dérivé aujourd'hui, la cohérence avec la courbe du marché est indispensable : Hull-White ou BDT s'imposent. Pour des scénarios de long terme où l'on veut des taux positifs et des changements de régime, CIR ou Chen sont plus adaptés. Aucun de ces modèles ne décrit le smile de volatilité des options de taux : les salles de marché les complètent alors par des modèles comme le SABR ou par des modèles de marché multifactoriels.

Comment un modèle de taux court est utilisé

Avantages et limites des modèles de taux court

Ce que le trader particulier peut en retenir

Un investisseur particulier n'aura pas à calibrer un modèle BDT. Les idées que ces modèles formalisent aident en revanche à lire les marchés de taux, qui influencent les devises, les actions et les obligations.

• Tout part du taux sans risque. Quand il monte, la valeur actualisée des flux futurs baisse : les obligations existantes perdent de la valeur et les actions de croissance, dont les bénéfices sont lointains, y sont particulièrement sensibles.
• Raisonner en taux réel. Un placement à 3 % avec une inflation à 2,5 % ne rapporte qu'environ 0,5 % de pouvoir d'achat, avant impôts.
• Les taux reviennent vers une moyenne, mais lentement. Les demi-vies se comptent en années : parier sur un retour rapide « à la normale » après un choc de taux est risqué.
• La courbe des taux contient déjà les anticipations. Une baisse de taux déjà intégrée dans les prix ne fait pas monter les obligations quand elle se produit : seule la surprise compte. Voir notre page sur les rendements obligataires.
• Un modèle n'est pas une prévision. Le prix d'une option de taux reflète une distribution de scénarios. Pour construire un portefeuille obligataire, mieux vaut s'appuyer sur une méthode adaptée à son horizon, comme celles présentées dans nos stratégies d'investissement obligataire.

Conclusion

Le taux sans risque est la référence à partir de laquelle se mesurent tous les rendements et toutes les primes de risque. On l'approche par les titres d'État et par les taux au jour le jour comme l'€STR ou le SOFR, en distinguant toujours le taux nominal du taux réel. Le taux court, sa version instantanée, est la variable que modélisent les modèles de taux.

Le modèle de Vasicek a posé les bases avec le retour à la moyenne. Le modèle Black-Derman-Toy a apporté un outil directement exploitable par les salles de marché, calibré sur la courbe et les volatilités du jour, avec des taux toujours positifs. Le modèle de Chen a rendu aléatoires la moyenne et la volatilité elles-mêmes, au prix d'une calibration plus exigeante. Avec le CIR et le Hull-White, ces modèles forment la boîte à outils de base de la finance de taux.

Tous partagent la même limite : ce sont des représentations simplifiées, faites pour valoriser et couvrir de façon cohérente, pas pour prévoir le niveau futur des taux. Les chercheurs et les praticiens continuent d'ailleurs de développer des modèles plus riches pour mieux rendre compte du comportement des taux.

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