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Modèle de Black-Scholes : formule, Greeks et code (R, Python, MATLAB)

Modèle financier de Black-Scholes

Mis à jour le 19 juin 2026 par l'Équipe de broker-forex.fr

Le modèle de Black-Scholes est l'approche mathématique de référence pour évaluer le prix d'une option sur un actif sous-jacent. Publié en 1973 par Fischer Black et Myron Scholes, puis prolongé par Robert Merton, il a valu à ses auteurs le prix Nobel d'économie en 1997. Plus de cinquante ans plus tard, il reste l'un des cadres les plus utilisés au monde pour la tarification des options.

Il dérive d'une amélioration du modèle Boness antérieur : il utilise le taux d'intérêt sans risque comme facteur d'actualisation et élimine les hypothèses sur la tolérance au risque des traders. Comme tout modèle, il repose sur un jeu d'hypothèses simplificatrices qui en font à la fois la force (élégance et rapidité de calcul) et la faiblesse (écart avec la réalité des marchés).

Points clés à retenir

  • Objectif : calculer la valeur théorique d'une option européenne (call ou put) à partir de 5 paramètres.
  • Les 5 entrées : prix du sous-jacent (S), prix d'exercice (K), taux sans risque (r), durée (t), volatilité (σ).
  • Formule du call : C = S·N(d1) − K·e(−rt)·N(d2).
  • Toujours d'actualité en 2026 : base de la volatilité implicite et du calcul des Greeks sur tous les desks.
  • Limite majeure : il suppose une volatilité constante, ce que dément le « smile » de volatilité observé sur les marchés.

1. Qu'est-ce que le modèle de Black-Scholes ?

Le modèle de Black-Scholes fournit une formule fermée donnant directement le prix d'une option européenne, sans simulation. Il repose sur une idée centrale : il est possible de construire un portefeuille de couverture (l'actif sous-jacent et l'option) qui, ajusté en continu, élimine le risque. Ce portefeuille « sans risque » doit alors rapporter exactement le taux sans risque, ce qui contraint le prix de l'option à une seule valeur cohérente avec l'absence d'arbitrage.

Concrètement, le modèle suppose que le prix du sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique (un processus aléatoire continu de type Markov), et que ses rendements logarithmiques sont distribués selon une loi normale. À partir de là, la résolution de l'équation aux dérivées partielles de Black-Scholes débouche sur les formules de valorisation du call et du put.

2. Les 6 hypothèses du modèle Black-Scholes

Black et Scholes ont formulé six hypothèses clés à la base de leur modèle d'évaluation des options :

1. Marchés efficients
Les marchés évoluent de façon aléatoire : nul ne peut prédire avec certitude leur direction. Les prix suivent un processus de Markov en temps continu.
2. Pas de dividendes
Le sous-jacent ne verse pas de dividendes. Or un dividende réduit la prime des calls : l'extension de Merton corrige ce point en intégrant un rendement de dividende.
3. Pas d'exercice anticipé
Le modèle ne s'applique qu'aux options européennes. Les options américaines, exerçables à tout moment, requièrent d'autres méthodes.
4. Taux sans risque constant
Le « taux sans risque » est supposé connu et constant sur la durée de l'option. En réalité, les taux fluctuent, ce qui introduit une marge d'erreur.
5. Pas de frais ni commissions
Les transactions sont considérées sans coût (ni commissions ni spread bid-ask), ce qui simplifie la stratégie de couverture théorique.
6. Rendements log-normaux
Les rendements du sous-jacent suivent une distribution log-normale. C'est approximativement vrai, mais les marchés présentent des queues de distribution plus épaisses.

À garder en tête : Ces hypothèses sont des simplifications. Aucune n'est parfaitement vérifiée en pratique, mais elles rendent le modèle calculable. Les écarts les plus importants viennent de la volatilité constante (hypothèse 6) et de l'absence de dividendes (hypothèse 2).

3. La formule mathématique de Black-Scholes

Les prix théoriques d'une option d'achat (call) C et d'une option de vente (put) P de style européen se déterminent comme suit :

  • C = S · N(d1) − K · e(−rt) · N(d2)
  • P = K · e(−rt) · N(−d2) − S · N(−d1)

Les sous-variables d1 et d2 sont définies par :

  • d1 = [ln(S / K) + (r + σ² / 2) · t] / (σ · √t)
  • d2 = d1 − σ · √t

Où :

  • N = fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
  • S = prix actuel de l'action (sous-jacent)
  • K = prix d'exercice (strike) de l'option
  • r = taux d'intérêt sans risque
  • t = temps jusqu'à l'échéance (1 = un an)
  • σ (sigma) = volatilité des rendements, exprimée en écart-type annualisé
  • ln = logarithme naturel ; e = base du logarithme naturel (≈ 2,71828)

L'interprétation est intuitive. Le terme N(d1) traduit la sensibilité du prix de l'option à celui du sous-jacent (c'est le Delta du call). Le terme K·e(−rt)·N(d2) représente la valeur actuelle du paiement du prix d'exercice à l'échéance, pondérée par N(d2), la probabilité (ajustée au risque) que l'option soit exercée.

Pour un call, la valeur de marché est donc l'avantage d'acheter l'action moins la valeur actuelle du paiement du strike. Pour un put, on inverse les signes de d1 et d2, puisque l'option de vente prend de la valeur quand le sous-jacent baisse.

Astuce de vérification : la parité call-putQuel que soit votre calcul, le résultat doit respecter la relation C − P = S − K·e(−rt). Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur dans vos entrées ou votre formule.

4. Exemple chiffré pas à pas

Prenons une action cotée à 100 €, une option de strike 95 €, un taux sans risque de 5 %, une échéance d'un mois (t = 1/12) et une volatilité de 25 %.

1
Calculer d1 et d2
d1 = [ln(100/95) + (0,05 + 0,25²/2) × (1/12)] / (0,25 × √(1/12)) ≈ 0,8046
d2 = 0,8046 − 0,25 × √(1/12) ≈ 0,7324
2
Évaluer la loi normale
N(d1) ≈ 0,7895 et N(d2) ≈ 0,7680.
3
Prix du call
C = 100 × 0,7895 − 95 × e(−0,05/12) × 0,7680 ≈ 6,29 €
4
Prix du put
P = 95 × e(−0,05/12) × 0,2320 − 100 × 0,2105 ≈ 0,89 €
5
Contrôle par la parité
C − P = 6,29 − 0,89 = 5,40 ≈ S − K·e(−rt) = 100 − 94,60 = 5,40. ✔️

5. Les Greeks : mesurer la sensibilité de l'option

Le prix n'est que la moitié de l'histoire. Une fois l'option en portefeuille, la question devient : comment sa valeur évolue-t-elle quand le marché bouge ? Les Greeks répondent à cela. Ce sont les dérivées partielles du prix de l'option par rapport à chacun de ses paramètres ; ils sont au cœur de la couverture (hedging) et de la gestion du risque.

GreekMesure la sensibilité à…Valeur (exemple ci-dessus)
Delta (Δ)la variation du prix du sous-jacent (∂V/∂S)Call : +0,79 / Put : −0,21
Gamma (Γ)la variation du Delta (∂²V/∂S²)0,040 (call et put)
Vega (ν)la variation de la volatilité (∂V/∂σ)≈ 0,083 pour +1 % de vol
Theta (Θ)l'écoulement du temps (∂V/∂t)Call : ≈ −0,044 €/jour
Rho (ρ)la variation du taux d'intérêt (∂V/∂r)Call : ≈ 0,061 pour +1 % de taux

Le Delta est le plus fondamental : il indique de combien varie l'option pour 1 € de mouvement du sous-jacent et fonde la stratégie de delta-hedging. Le Gamma mesure la stabilité de ce Delta (il est maximal pour les options à la monnaie proches de l'échéance). Le Vega, plus élevé pour les options longues, quantifie l'exposition à la volatilité. Le Theta capture la « fonte » de la valeur temps, qui s'accélère dans les dernières semaines. Enfin, le Rho mesure l'effet d'un changement de taux, généralement faible pour les options courtes.

6. Modélisation de Black-Scholes en R

Il existe plusieurs façons de coder Black-Scholes en R. La méthode ci-dessous, directe, définit chaque variable (S, K, r, t, σ) puis calcule d1, d2, C et P. L'échéance est fixée à un mois (1/12 d'année) ; pour plus de précision, on peut la définir en jours (par exemple 30/365).

S <- 100

K <- 95

r <- 0.05

t <- 1/12

sigma <- 0.25

d1 <- ((log(S/K)+(r+sigma^2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)))
d2 <- d1-sigma*sqrt(t)

C <- S*pnorm(d1,0,1)-K*exp(-1*r*t)*pnorm(d2,0,1)
C

P <- K*exp(-1*r*t)*pnorm(-d2)-S*pnorm(-d1)
P

Écrire le nom d'un objet seul sur une ligne (par exemple C) en affiche la valeur : ici, la prime de l'option d'achat. De même, P renvoie la prime de l'option de vente. La fonction pnorm() de R fournit directement la loi normale cumulée N().

7. Modélisation en MATLAB / Octave

La structure du code MATLAB est proche de celle de R. On définit ici le modèle via la commande function, avec les sorties entre crochets et les entrées entre parenthèses. Comme pnorm() est propre à R, on utilise en MATLAB la fonction normcdf(), équivalent de la loi normale cumulée (GNU Octave en est la version libre et gratuite).

function [C, P] = BSM(S, K, r, t, sigma)

d1 = ((log(S/K)+(r+sigma^2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)))
d2 = d1-sigma*sqrt(t)

C = S*normcdf(d1)-K*exp(-r*t)*normcdf(d2)
P = K*exp(-r*t)*normcdf(-d2)-S*normcdf(-d1)

Pour obtenir les résultats, on appelle la fonction dans la fenêtre de commande :

[ C, P ] = BSM( 100, 95, 0.05, 1/12, 0.25 )

Vous pouvez aussi renommer les sorties, par exemple :

[ Call, Put ] = BSM( 100, 95, 0.05, 1/12, 0.25 )

Tant que l'ordre défini dans la fonction est respecté, les sorties restent correctes, même si on leur donne des noms sans rapport (Chat, Chien…).

8. Implémentation en Python

Python s'est imposé comme le langage dominant de la finance quantitative en 2026, grâce aux bibliothèques NumPy et SciPy. L'implémentation tient en quelques lignes : la fonction norm.cdf() de SciPy joue le rôle de N(), et l'on retrouve les mêmes formules qu'en R et MATLAB.

from scipy.stats import norm
import numpy as np

def black_scholes(S, K, r, t, sigma):
    d1 = (np.log(S/K) + (r + sigma**2/2)*t) / (sigma*np.sqrt(t))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(t)
    call = S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*t)*norm.cdf(d2)
    put = K*np.exp(-r*t)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)
    return call, put

print(black_scholes(100, 95, 0.05, 1/12, 0.25))
# (6.29, 0.89)

Pour aller plus loin, on calcule les Greeks comme dérivées partielles de cette formule : Delta = N(d1) pour le call, Gamma = N'(d1) / (S·σ·√t), Vega = S·N'(d1)·√t, etc. De nombreux packages (par exemple greeks sur PyPI) automatisent ces calculs et téléchargent les chaînes d'options réelles.

9. Limites du modèle et smile de volatilité

La plus grande faiblesse de Black-Scholes tient à son hypothèse de volatilité constante. Si elle était vérifiée, deux options identiques ne différant que par leur strike afficheraient la même volatilité implicite. Or les marchés montrent l'inverse : la volatilité implicite varie selon le prix d'exercice et l'échéance, dessinant des courbes bien connues — le « smile » (sourire) ou le « skew » (asymétrie).

Concrètement, les options de vente très en dehors de la monnaie (OTM) se paient plus cher que ne le prévoit le modèle, car le marché anticipe le risque de fortes baisses. Ce biais reflète des queues de distribution plus épaisses que la loi log-normale.

Forces du modèle
  • Formule fermée, rapide à calculer
  • Base universelle de la volatilité implicite
  • Permet de dériver tous les Greeks
  • Élégant et transparent (5 paramètres)
Limites du modèle
  • Volatilité supposée constante (smile non capturé)
  • Rendements log-normaux : queues sous-estimées
  • Pas de dividendes ni d'exercice anticipé
  • Taux et liquidité supposés constants et parfaits

10. Extensions et modèles alternatifs

Pour dépasser ces limites, plusieurs prolongements et modèles concurrents sont utilisés en pratique :

  • Black-Scholes-Merton : intègre un taux de dividende continu q (S devient S·e(−qt)), utile pour les actions à dividendes et les indices.
  • Arbre binomial (Cox-Ross-Rubinstein) : modélise des variations discrètes du prix et autorise l'exercice anticipé, donc convient aux options américaines.
  • Monte-Carlo : simule de nombreuses trajectoires du sous-jacent, indispensable pour les options exotiques et les produits complexes.
  • Modèle de Heston : rend la volatilité stochastique, capturant mieux le smile.
  • Modèle SABR : particulièrement adapté aux actifs présentant un fort skew de volatilité (taux, devises).
  • Volatilité locale (Dupire) : reconstruit une surface de volatilité cohérente avec tous les prix de marché observés.

Sur les desks professionnels, Black-Scholes reste le langage commun : on l'utilise pour « parler en volatilité implicite », puis on ajuste avec ces modèles plus riches selon la classe d'actifs et la précision requise.

11. Conclusion

Le modèle de Black-Scholes demeure, plus d'un demi-siècle après sa création, l'un des outils les plus précis et les plus utilisés pour valoriser les options d'achat et de vente européennes. Sa force tient à sa formule fermée et à son rôle de socle commun pour la volatilité implicite et les Greeks.

Plusieurs logiciels permettent de l'implémenter : Excel domine dans la finance d'entreprise, tandis que R, Python et MATLAB sont privilégiés dans les travaux quantitatifs, académiques et chez les quants. Comprendre ses hypothèses et surtout ses limites comme le smile de volatilité est essentiel pour l'utiliser à bon escient et savoir quand lui préférer un modèle plus avancé.

FAQ - Questions fréquentes

À quoi sert le modèle de Black-Scholes ? ▾
Il calcule la valeur théorique d'une option européenne (call ou put) à partir de cinq paramètres : prix du sous-jacent, prix d'exercice, taux sans risque, durée jusqu'à l'échéance et volatilité. Il fournit un prix de référence et sert aussi à déduire la volatilité implicite et à calculer les Greeks utilisés pour couvrir un portefeuille.
Le modèle Black-Scholes est-il encore utilisé en 2026 ? ▾
Oui. Plus de cinquante ans après sa publication, il reste le cadre de référence pour la tarification des options, l'inversion de la volatilité implicite et le calcul des sensibilités. Les desks professionnels l'emploient comme base, en l'ajustant avec des surfaces de volatilité et des modèles plus avancés (Heston, SABR, volatilité locale).
Quelles sont les principales limites de Black-Scholes ? ▾
Il suppose une volatilité constante, des rendements log-normaux, l'absence de dividendes et de frais, et ne s'applique qu'aux options européennes. En pratique, la volatilité implicite varie selon le strike et l'échéance, formant le « smile » ou « skew » de volatilité que le modèle ne capture pas.
Quelle est la formule de Black-Scholes ? ▾
Pour un call : C = S·N(d1) − K·e(−rt)·N(d2). Pour un put : P = K·e(−rt)·N(−d2) − S·N(−d1), avec d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·t] / (σ·√t) et d2 = d1 − σ·√t. N est la fonction de répartition de la loi normale.
Quelle différence entre Black-Scholes et Black-Scholes-Merton ? ▾
Le modèle original ne tient pas compte des dividendes. L'extension de Robert Merton (Black-Scholes-Merton) intègre un taux de dividende continu q en remplaçant S par S·e(−qt), ce qui permet de valoriser les options sur actions versant des dividendes ou sur indices.
Que sont les Greeks dans le modèle ? ▾
Les Greeks (Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho) sont les dérivées partielles du prix de l'option par rapport à ses paramètres. Ils mesurent la sensibilité de l'option au prix du sous-jacent, à la volatilité, au temps et au taux d'intérêt, et servent à couvrir et gérer le risque d'un portefeuille d'options.
Peut-on l'utiliser pour les options américaines ? ▾
Pas directement : le modèle suppose l'absence d'exercice anticipé, propre aux options américaines. Pour celles-ci, on emploie généralement des arbres binomiaux (Cox-Ross-Rubinstein) ou des simulations de Monte-Carlo, qui autorisent l'exercice avant l'échéance.
Quel taux sans risque utiliser ? ▾
Historiquement, on prenait le rendement des bons du Trésor de maturité proche de celle de l'option. Depuis l'abandon du LIBOR, les marchés se réfèrent davantage à des taux sans risque overnight comme le SOFR (dollar) ou l'€STR (euro). Pour une option courte, le choix exact a un impact limité sur le prix.
Qu'est-ce que la volatilité implicite ? ▾
C'est la valeur de la volatilité qui, injectée dans Black-Scholes, rend le prix théorique de l'option égal à son prix de marché. Comme elle n'est pas observable directement, on l'obtient par une méthode itérative (Newton-Raphson, bissection). Elle reflète l'anticipation du marché sur les variations futures du sous-jacent.
Faut-il R, Python ou Excel pour appliquer le modèle ? ▾
Excel reste le plus répandu dans la finance d'entreprise pour des calculs ponctuels. R et Python dominent côté quantitatif et académique grâce à leurs bibliothèques (SciPy, NumPy) ; MATLAB/Octave est courant pour le prototypage. La formule étant identique, le choix dépend surtout de votre environnement de travail.

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