Modèles Hull-White et Cox-Ingersoll-Ross (CIR) : les modèles de taux court

Pour donner un prix à une obligation, à un cap ou à une swaption, il faut une hypothèse sur la façon dont les taux d'intérêt vont évoluer. Les modèles de taux court répondent à ce besoin en décrivant le comportement d'une seule variable : le taux d'intérêt instantané. Deux d'entre eux sont devenus des classiques : le modèle Cox-Ingersoll-Ross (CIR), publié en 1985, et le modèle Hull-White, publié en 1990.

Ce guide présente les deux modèles côte à côte : leurs équations, le sens de chaque paramètre, des exemples chiffrés, leurs usages concrets et leurs limites. Les deux partagent une même idée, le retour à la moyenne, mais divergent sur deux points décisifs : la possibilité de taux négatifs et la capacité à reproduire la courbe des taux du jour.

Qu'est-ce qu'un modèle de taux court ?

Le taux court, noté r(t), est le taux d'intérêt sans risque pour un prêt d'une durée infiniment brève, contracté à l'instant t. Ce taux théorique ne s'observe pas directement, mais il s'approche par les taux au jour le jour (€STR en zone euro, SOFR aux États-Unis).

L'intérêt de modéliser ce seul taux est le suivant : si l'on connaît la loi d'évolution de r(t), on peut en déduire le prix de n'importe quelle obligation zéro-coupon, donc toute la courbe des taux, puis le prix des produits dérivés qui en dépendent. Un modèle de taux court s'écrit sous la forme d'une équation différentielle stochastique composée de deux parties :

• une tendance (ou dérive), qui indique vers où le taux se dirige en moyenne ;
• un terme aléatoire, porté par un mouvement brownien, qui représente les chocs imprévisibles.

Le premier modèle de ce type à avoir intégré le retour à la moyenne est celui d'Oldřich Vasicek (1977). Le CIR et le Hull-White en sont deux prolongements : chacun corrige un défaut différent du modèle de Vasicek.

Le modèle Cox-Ingersoll-Ross (CIR)

Trajectoires simulées d'un processus CIR

Le modèle CIR a été présenté en 1985 par John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll Jr. et Stephen A. Ross dans l'article A Theory of the Term Structure of Interest Rates, paru dans la revue Econometrica. Son objectif est de fournir un cadre cohérent pour évaluer les titres sensibles aux taux, comme les obligations et les dérivés de taux, et pour analyser la structure par terme des taux d'intérêt.

Le modèle de Vasicek avait un défaut gênant à l'époque : il pouvait produire des taux négatifs. Le CIR règle ce problème par une modification simple : la volatilité n'est plus constante, elle dépend du niveau du taux. Quand le taux s'approche de zéro, les chocs aléatoires s'atténuent et la force de rappel vers la moyenne prend le dessus.

Le CIR se résume en trois caractéristiques :

• c'est un modèle à un facteur ;
• il intègre le retour à la moyenne ;
• il ne produit pas de taux négatifs.

L'équation du modèle CIR et ses paramètres

Le modèle CIR s'écrit :

L'équation se lit en deux temps.

• Le terme κ (θ − r_t) dt est la force de rappel. Si le taux est au-dessus de θ, ce terme est négatif et tire le taux vers le bas ; s'il est en dessous, il le pousse vers le haut.
• Le terme σ √r_t dW_t est le choc aléatoire. Son ampleur est proportionnelle à la racine carrée du taux : la volatilité est forte quand les taux sont hauts, faible quand ils sont bas, et nulle quand le taux atteint zéro.

La vitesse κ s'interprète plus facilement sous forme de demi-vie : le temps nécessaire pour que l'écart entre le taux et sa moyenne soit divisé par deux, en l'absence de chocs. Elle vaut ln(2) / κ. Avec κ = 0,5, la demi-vie est d'environ 1,4 an.

Sur le plan statistique, le taux futur suit dans ce modèle une loi du khi-deux non centrée, et sa distribution de long terme est une loi gamma. Sa moyenne de long terme est θ et sa variance de long terme vaut θσ² / (2κ).

La condition de Feller : des taux toujours positifs

Le terme en racine carrée garantit que le taux ne passe jamais sous zéro. Il peut en revanche toucher zéro, sauf si les paramètres respectent la condition de Feller :

Lorsque cette inégalité est vérifiée, la force de rappel est assez puissante par rapport à la volatilité pour maintenir le taux strictement positif. Dans le cas contraire, le taux peut atteindre zéro par moments, avant d'en être repoussé.

Exemple chiffré avec le modèle CIR

Prenons un taux court actuel de 4 %, avec les paramètres suivants : θ = 3 %, κ = 0,5 et σ = 0,08.

Vérification de la condition de Feller : 2 × 0,5 × 0,03 = 0,03, à comparer à σ² = 0,0064. La condition est largement respectée : le taux restera strictement positif.

Taux moyen attendu. L'espérance du taux à l'horizon t se calcule par la formule :

Le taux moyen glisse progressivement de 4 % vers 3 %, et l'essentiel du chemin est parcouru en trois ans environ (deux demi-vies). L'incertitude, elle, ne grandit pas indéfiniment : elle se stabilise autour de 1,4 point. C'est la signature du retour à la moyenne, par opposition à une marche aléatoire dont la dispersion augmente sans limite.

Le modèle Hull-White

Taux à terme, taux futur attendu et volatilités par échéance

Le modèle Hull-White porte le nom de ses auteurs, John Hull et Alan White, qui l'ont présenté en 1990 dans l'article Pricing Interest-Rate Derivative Securities. On l'appelle aussi modèle de Vasicek étendu, car il reprend l'équation de Vasicek en rendant un de ses paramètres variable dans le temps.

Le problème qu'il résout est très concret. Avec des paramètres constants, les modèles de Vasicek et CIR produisent leur propre courbe des taux, qui ne coïncide presque jamais avec celle du marché. Un modèle qui ne retrouve pas le prix des obligations cotées aujourd'hui ne peut pas servir à coter des produits dérivés sans créer d'opportunités d'arbitrage. Hull et White ont donc laissé le niveau de retour à la moyenne varier avec le temps, de façon à ce que le modèle colle exactement à la courbe observée. C'est ce qu'on appelle un modèle sans arbitrage, par opposition aux modèles dits d'équilibre.

L'équation du modèle Hull-White et le calage sur la courbe des taux

Dans sa version à un facteur, le modèle s'écrit :

• r_t : taux court à l'instant t ;
• a : vitesse de retour à la moyenne ;
• θ(t) : fonction du temps, choisie pour reproduire la courbe des taux initiale ;
• σ : volatilité du taux court, exprimée en valeur absolue (en points de taux) ;
• dW_t : accroissement d'un processus de Wiener.

On rencontre aussi l'écriture équivalente dr_t = a [b(t) − r_t] dt + σ dW_t, où b(t) = θ(t) / a est le niveau vers lequel le taux est attiré à chaque instant.

Deux différences avec le CIR sautent aux yeux.

• Le niveau cible dépend du temps. La fonction θ(t) se déduit directement de la courbe des taux à terme observée sur le marché : θ(t) = ∂f(0,t)/∂t + a f(0,t) + (σ² / 2a) (1 − e^−2at), où f(0,t) est le taux à terme instantané vu d'aujourd'hui pour la date t. En clair, le taux court suit en moyenne la trajectoire dessinée par les taux à terme, à une petite correction près.
• La volatilité ne dépend pas du niveau du taux. Le choc σ dW_t a la même ampleur que le taux soit à 5 % ou à 0,5 %. Le taux suit donc une loi normale, et rien ne l'empêche de devenir négatif.

Les paramètres a et σ, eux, se calibrent sur les prix des options de taux : caps, floors et swaptions. Il existe des extensions où a et σ varient aussi dans le temps, ainsi qu'une version à deux facteurs (Hull et White, 1994), qui ajoute une seconde source d'aléa pour permettre aux taux courts et aux taux longs de ne pas évoluer en parfaite synchronisation.

Exemple chiffré avec le modèle Hull-White

Prenons a = 0,1 et σ = 1 % (soit 100 points de base par an). Dans le modèle Hull-White, l'écart-type du taux court à l'horizon t est donné par :

Deux enseignements. D'abord, comme pour le CIR, l'incertitude plafonne : sans retour à la moyenne (a = 0), l'écart-type à 10 ans serait de 3,16 % au lieu de 2,08 %. Ensuite, la probabilité de taux négatifs n'est pas négligeable sur les horizons longs. Elle est d'autant plus forte que les taux de départ sont bas et que la volatilité est élevée.

Avec a = 0,1, la demi-vie d'un écart est de ln(2) / 0,1, soit près de 7 ans : le rappel vers la moyenne est lent. Les valeurs de a calibrées sur les marchés sont en général faibles, de l'ordre de quelques centièmes à un dixième.

Du taux court au prix d'une obligation

CIR et Hull-White appartiennent à la famille des modèles affines. Dans ces modèles, le prix à l'instant t d'une obligation zéro-coupon qui rembourse 1 à la date T s'écrit toujours sous la même forme :

Les fonctions A et B dépendent uniquement des paramètres du modèle et de la durée restante. Dans le modèle Hull-White, B a une expression très simple :

B mesure la sensibilité du prix de l'obligation au taux court, un peu comme la duration présentée dans notre guide d'analyse des obligations. Plus le retour à la moyenne est rapide (a élevé), plus B est faible pour les échéances longues : un choc sur le taux court est perçu comme temporaire et affecte peu les obligations lointaines.

L'existence de ces formules fermées a deux conséquences pratiques : le prix d'une obligation se calcule instantanément, sans simulation, et les options européennes sur obligations, les caps et les floors ont eux aussi des formules explicites dans les deux modèles.

À quoi servent ces modèles ?

• Évaluation des obligations. Les deux modèles donnent le prix des obligations zéro-coupon et, par addition, celui des obligations à coupons. Ils servent aussi à valoriser les obligations remboursables par anticipation (callable bonds), dont le prix dépend du chemin suivi par les taux.
• Dérivés de taux. Caps, floors et swaptions se valorisent dans ces cadres. Voir nos guides sur les options sur taux d'intérêt et sur les swaptions. Le Hull-White est particulièrement utilisé pour les produits à exercice anticipé, comme les swaptions bermudiennes, grâce à sa mise en œuvre sur arbre trinomial.
• Gestion des risques. Les banques et les assureurs simulent des milliers de scénarios de taux pour mesurer leur exposition, calculer une VaR ou gérer l'équilibre entre actifs et passifs.
• Risque de contrepartie. Le Hull-White est un modèle courant pour simuler les expositions futures sur des portefeuilles de swaps dans les calculs de CVA. Voir notre dossier sur le risque de crédit et les XVA.
• Au-delà des taux. Le processus en racine carrée du CIR sert à modéliser toute grandeur qui doit rester positive et revenir vers une moyenne : la variance d'un actif dans le modèle de Heston, ou l'intensité de défaut d'un emprunteur dans les modèles de crédit.
• Analyse de la courbe des taux. Ces modèles aident à relier la forme de la courbe aux anticipations de taux futurs et à la prime de terme, sujet abordé dans notre page sur les rendements obligataires.

Avantages et limites de chaque modèle

Modèle Cox-Ingersoll-Ross

Modèle Hull-White

Dernière limite, commune aux deux : ces modèles reposent sur des paramètres calibrés à une date donnée. Ils ne prédisent pas les taux futurs. Ils décrivent une distribution de scénarios cohérente avec les prix du jour, ce qui suffit pour valoriser et couvrir, mais pas pour anticiper une décision de banque centrale. Les périodes de forte tension sur les marchés mettent aussi à mal l'hypothèse de retour à la moyenne à vitesse constante.

Vasicek, CIR, Hull-White : le comparatif

Le choix entre les deux dépend donc de la question posée. Pour coter un produit dérivé aujourd'hui, la cohérence avec la courbe du marché est indispensable : le Hull-White, ou une version décalée du CIR, s'impose. Pour simuler des scénarios économiques sur trente ans où des taux durablement négatifs seraient jugés irréalistes, la structure du CIR garde son intérêt.

Ni l'un ni l'autre ne décrit le smile de volatilité. Pour cela, les salles de marché les complètent par des modèles spécialisés comme le SABR, ou passent à des modèles de marché multifactoriels.

Comment un modèle de taux court est mis en œuvre

Ce que le trader particulier peut en retenir

Un particulier n'aura jamais à calibrer un modèle Hull-White. Les idées qu'il formalise sont en revanche utiles pour lire les marchés de taux, qui pèsent sur les devises, les actions et les obligations.

• Les taux reviennent vers une moyenne, mais lentement. Les demi-vies se comptent en années. Parier sur un retour rapide « à la normale » après un choc de taux est un pari risqué.
• La courbe des taux contient déjà les anticipations. Les taux à terme indiquent la trajectoire que le marché intègre dans les prix. Une baisse de taux déjà inscrite dans la courbe ne fait pas monter les obligations quand elle se produit : seule la surprise compte.
• L'incertitude sur les taux longs est bornée. Grâce au retour à la moyenne, les taux longs bougent moins que les taux courts face à un même choc. C'est pourquoi les annonces de banques centrales agitent davantage les échéances courtes.
• La volatilité des taux dépend souvent de leur niveau. Les variations en points de base sont généralement plus amples quand les taux sont élevés, ce que le CIR intègre et que le Hull-White ignore.
• Un modèle n'est pas une prévision. Les prix des produits de taux reflètent une distribution de scénarios, pas une certitude. Un écart de différentiel de taux entre deux devises peut durer bien plus longtemps que ne le suggère un modèle.

Conclusion

Le CIR et le Hull-White partent de la même intuition, celle du retour à la moyenne introduite par Vasicek, et y apportent chacun une réponse différente. Le CIR lie la volatilité au niveau des taux et interdit les valeurs négatives. Le Hull-White rend le niveau cible variable dans le temps pour épouser la courbe des taux du marché, condition nécessaire pour coter des produits dérivés sans arbitrage.

Leurs faiblesses sont le revers de leur simplicité : un seul facteur de risque, pas de smile de volatilité, des taux négatifs soit exclus, soit trop fréquents. Ils restent pourtant très utilisés, parce qu'ils sont rapides, transparents et faciles à calibrer, et parce qu'ils servent de briques de base à des modèles plus riches. Pour qui s'intéresse aux marchés de taux, ils offrent surtout un cadre clair pour comprendre comment une hypothèse sur le taux au jour le jour se propage à toute la courbe.

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