Volatilité approximative et modèle de Bergomi

Climax · 20-01-2024 15:29:05

Volatilité approximative et modèle de Bergomi (applications et exemple de codage)

Les modèles de volatilité approximative sont nés d'observations empiriques selon lesquelles la volatilité des marchés financiers ne se comporte pas de manière régulière.

Au contraire, elle présente une "rugosité" et il fallait de meilleurs modèles quantitatifs pour la représenter avec précision.

Principaux enseignements
➡️ Volatilité irrégulière - Les modèles de volatilité irrégulière, y compris le modèle Bergomi, rendent compte de la nature irrégulière et irrégulière de la volatilité du marché. Ils améliorent les hypothèses de volatilité statique de nombreux modèles.
➡️ Amélioration des prévisions - Ces modèles fournissent des prévisions plus précises de la volatilité à court terme. C'est important pour l'évaluation des options et la gestion des risques.
➡️ Complexité et étalonnage - Ces modèles sont mathématiquement complexes et nécessitent des techniques avancées pour l'étalonnage et la mise en œuvre dans les stratégies de négociation.

Comprendre la volatilité irrégulière

Les modèles traditionnels, comme le modèle de Black et Scholes, supposent que la volatilité des prix des actifs est lisse et suit un certain schéma prévisible.

En réalité, les marchés financiers présentent souvent une volatilité qui est loin d'être lisse, avec des pics et des chutes soudains.

Cette incohérence a conduit à l'élaboration de modèles de volatilité approximative.

Le terme "rugueux" dans volatilité rugueuse fait référence à la propriété statistique des trajectoires de la volatilité.

En termes mathématiques, cette rugosité est souvent caractérisée par le paramètre de Hurst (H), où un paramètre inférieur à 0,5 indique une rugosité.

Dans les modèles de volatilité approximative, le paramètre de Hurst est généralement estimé à environ 0,1.

Avantages des modèles de volatilité brute

Les modèles bruts de volatilité offrent plusieurs avantages, notamment

Amélioration de l'étalonnage

Ces modèles peuvent se calibrer plus précisément sur les données du marché.

Cela peut aider à fixer le prix des dérivés financiers tels que les options où la volatilité (volatilité implicite) est une donnée clé.

Meilleure gestion des risques

En capturant le comportement erratique réel de la volatilité du marché, ces modèles peuvent contribuer à des stratégies de gestion des risques plus efficaces.

Précision des prévisions

Ils offrent un cadre plus réaliste pour la prévision de la volatilité future du marché en reconnaissant la rugosité inhérente au comportement du marché.

Le modèle Bergomi : Un modèle de volatilité stochastique

Le modèle Bergomi est un modèle de volatilité stochastique prospectif utilisé pour l'évaluation des produits dérivés.

Il est le plus souvent utilisé sur les marchés où le smile de volatilité est prédominant (ce qui est exactement ce qu'il semble être).

Il porte le nom de Lorenzo Bergomi, un chercheur quantitatif connu pour ses contributions à la modélisation stochastique de la volatilité.

Principales caractéristiques du modèle Bergomi

Dynamique de la volatilité stochastique

Le modèle intègre une volatilité stochastique.

Cela signifie que la volatilité n'est pas constante mais qu'elle varie dans le temps.

Volatilité de la volatilité

Le modèle Bergomi tient compte de la volatilité de la volatilité ("vol of vol").

Il prend donc en compte la variabilité de la volatilité elle-même, ce qui ajoute une couche supplémentaire de complexité et de réalisme.

Modélisation de l'effet de levier

Elle tient compte de l'effet de levier, un phénomène selon lequel les prix des actifs et leur volatilité sont souvent inversement liés.

Ce phénomène est bien connu dans le domaine des actions, par exemple.

Une volatilité plus élevée est généralement corrélée à une activité de vente.

Dans le cas d'un produit comme le pétrole, en revanche, les choses peuvent aller dans les deux sens.

La volatilité du pétrole peut résulter d'une vente ou d'un événement géopolitique (par exemple, la guerre du Golfe de 1991, l'invasion de l'Ukraine par la Russie en 2022).

Courbe de variance à terme

Le modèle utilise le concept de courbe de variance à terme, qui représente les attentes du marché en matière de variance future.

Les marchés sont évalués sur la base d'ensembles de conditions à terme actualisées, il s'agit donc d'une information importante.

Les traders de volatilité et les traders d'options connaissent également le concept de volatilité à terme.

Application du modèle de Bergomi aux marchés financiers

Le modèle de Bergomi est utile sur les marchés des actions et des devises, où la courbe de volatilité est un facteur important dans l'évaluation des produits dérivés.

Il permet de mieux évaluer et couvrir les options et autres produits financiers dérivés.

Quels sont les différents modèles de volatilité approximative ?

Les modèles de volatilité approximative ont gagné en importance dans les mathématiques financières et la finance quantitative en raison de leur capacité à saisir la nature irrégulière et complexe de la volatilité du marché.

Voici quelques-uns des modèles de volatilité brute les plus remarquables :

1. Modèle de mouvement brownien fractionnaire (MBF)

Le modèle MBF étend le mouvement brownien classique en incorporant des effets de mémoire et une dépendance à long terme, caractérisée par le paramètre de Hurst H.

Le paramètre clé, H, peut prendre des valeurs comprises entre 0<H<1, où H<0,5 indique la rugosité et la mémoire à long terme de la volatilité.

2. Modèle de volatilité stochastique fractionnaire rugueuse (VSFR)

Dynamique de la volatilité

Ce modèle capture la rugosité en modélisant le logarithme de la volatilité comme un mouvement brownien fractionnaire avec H<0,5.

Ajustement empirique

Il a été démontré que les modèles VSFR s'adaptent remarquablement bien à la volatilité historique des actifs.

Il en va de même pour la capture des comportements à petite échelle dans les séries temporelles financières.

3. Modèle approximatif de Bergomi

Amélioration du modèle de Bergomi

Le modèle Rough Bergomi est une extension du modèle classique de Bergomi, incorporant la rugosité dans la dynamique de la volatilité.

Courbe de variance à terme

Le modèle modélise la courbe de variance à terme comme étant entraînée par un mouvement brownien fractionnaire.

Cela permet de mieux saisir le comportement irrégulier de la volatilité.

4. Volatilité irrégulière avec sauts

Ce modèle intègre des composantes de saut dans le cadre de la volatilité approximative afin de saisir les mouvements soudains et significatifs des prix des actifs.

Il est utile pour modéliser les actifs qui présentent un risque de saut ou pour des scénarios tels que des baisses importantes du marché où les modèles traditionnels sont insuffisants.

5. Modèles de volatilité brute multifactorielle

Ces modèles prennent en compte plusieurs facteurs contribuant à la rugosité.

Cela permet une représentation plus complète de la volatilité.

Ils s'adaptent à diverses sources de friction du marché ou à plusieurs échelles de mouvements du marché.

6. Modèles hybrides de volatilité rugueuse

Combinaison de caractéristiques

Les modèles hybrides combinent les caractéristiques des modèles de volatilité grossière avec d'autres processus stochastiques, tels que les modèles de diffusion par saut ou les processus de retour à la moyenne.

Adaptabilité

Ils s'adaptent à un large éventail de conditions de marché et peuvent capturer à la fois les composantes continues et discontinues de la dynamique des prix des actifs.

Exemple de codage - Volatilité approximative (très simplifié)

Pour modéliser la volatilité approximative, nous pouvons simuler une série temporelle qui capture l'essence de la volatilité approximative.

Les modèles de volatilité approximative supposent que la volatilité elle-même suit un processus stochastique qui n'est pas nécessairement lisse.

Une façon courante de modéliser ce processus est d'utiliser un mouvement brownien fractionnaire, qui est une généralisation du mouvement brownien standard.

Mais la génération d'un mouvement brownien fractionnaire nécessite des méthodes plus complexes.

Par souci de simplicité, créons une série de données synthétiques via numpy en Python qui imite la volatilité brute à l'aide d'une méthode plus simple.

Nous allons générer une série temporelle dans laquelle la volatilité évolue dans le temps de manière non régulière.

Nous utiliserons Python pour générer ces données. Nous tracerons ensuite le graphique résultant du prix de l'actif.

Il s'agit simplement d'un modèle simplifié destiné à vous mettre sur la piste et qui ne représente pas la complexité des modèles de volatilité grossière utilisés en mathématiques financières.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Set seed
np.random.seed(38)

# Gen synthetic price data
n = 252 # Trading days in a year
t = np.linspace(0, 1, n)
price_changes = np.random.normal(0, 1, n) # Daily returns (normally distributed)

# Create a simple rough volatility model
# Modulate the volatility by a random walk, which is non-smooth
volatility = np.abs(np.cumsum(np.random.normal(0, 0.02, n)))
price = 100 * np.exp(np.cumsum(volatility * price_changes)) # Simulate the price

# Plotting synthetic price data w/ rough volatility
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(t, price)
plt.title("Synthetic Asset Price with Rough Volatility")
plt.xlabel("Time (Years)")
plt.ylabel("Price")
plt.grid(True)
plt.show()

Nous obtenons le graphique suivant :

Le graphique représente une série de prix d'actifs synthétiques où la volatilité est modélisée de manière non lisse, un peu comme un modèle de volatilité approximatif.

Le prix de l'actif évolue dans le temps, influencé par les rendements quotidiens et modulé par une marche aléatoire pour simuler la nature grossière de la volatilité.

Conclusion

La volatilité approximative et le modèle de Bergomi répondent aux limites des modèles antérieurs qui supposaient une trop grande régularité de la volatilité du marché (comme les hypothèses de volatilité sous-jacentes à Black-Scholes).

Ces modèles permettent d'améliorer la précision des prix, de la gestion des risques et des prévisions sur les marchés financiers.

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