La théorie des grands écarts dans la finance et le trading

Climax · 14-02-2024 15:55:19

La théorie des grands écarts dans la finance, les marchés et le trading

La théorie des grands écarts (TGE) est une branche de la théorie des probabilités qui étudie le comportement asymptotique des queues éloignées des séquences de distributions de probabilités.

Elle est utile pour quantifier les probabilités d'événements rares dans des systèmes comportant de nombreux degrés de liberté, tels que les marchés financiers et les activités de trading.

En finance, ces "événements rares" peuvent inclure des mouvements extrêmes du marché, tels que des krachs, des baisses importantes ou des pics, qui, bien qu'improbables, peuvent avoir un impact significatif sur les stratégies de trading et de gestion des risques.

Principaux enseignements :

Prévoir les événements rares

La théorie des grands écarts permet de quantifier les probabilités d'événements rares, tels que les krachs ou les hausses extrêmes des marchés.
Elle permet aux traders d'évaluer et d'atténuer les risques de pertes financières importantes.

Informer la gestion des risques

En estimant la probabilité d'écarts importants par rapport aux résultats attendus, les traders peuvent mieux concevoir des stratégies de couverture et gérer efficacement les risques du portefeuille.

Amélioration des tests de résistance

Fournit une base mathématique pour les tests de résistance des portefeuilles financiers et des institutions.
Permet de se préparer à des scénarios de marché à faible probabilité et à fort impact.

Voici les concepts clés, les applications et la façon dont les traders peuvent utiliser la théorie des grands écarts :

Concepts clés de la théorie des grands écarts

Fonction de taux

L'un des concepts clés de la théorie des grands écarts est la fonction de taux (expliquée plus en détail ci-dessous), qui quantifie la décroissance exponentielle de la probabilité d'écarts importants par rapport à la moyenne ou à la valeur attendue.

La fonction de taux est une fonction non négative, semi-continue inférieure, qui présente souvent un minimum unique à la valeur attendue de la variable aléatoire sous-jacente.

Principe des grands écarts

Ce principe permet d'estimer la probabilité d'événements rares grâce au taux de décroissance exponentiel caractérisé par la fonction de taux.

Il indique essentiellement que la probabilité de certains résultats devient exponentiellement faible à mesure que la taille du système ou le nombre d'observations augmente.

Théorème de Cramér

L'un des résultats fondamentaux de la TDT, le théorème de Cramér, donne une forme explicite de la fonction de taux pour les sommes de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées sous certaines conditions.

Ce théorème est important en finance, où les rendements dans le temps peuvent être modélisés comme des sommes de variables aléatoires.

Les mathématiques derrière la théorie des grands écarts

Voici un aperçu des mathématiques qui sous-tendent la théorie des grands écarts :

Idée maîtresse

Caractériser le comportement asymptotique des événements rares comme suit :

P(Xn ∈ An) ≍ e^-nI(A)

Où :

Xn = une séquence de variables aléatoires
An = une séquence d'ensembles d'événements rares
P(Xn ∈ An) = Probabilité de l'événement rare An
I(A) = Fonction de taux qui contrôle la décroissance de la probabilité
≍ indique l'équivalence asymptotique lorsque n → ∞

Deux approches principales

Théorème de Cramér - Utiliser la fonction génératrice de moments pour dériver la fonction de taux I(x) pour la moyenne de l'échantillon Xn
Théorème de Gärtner-Ellis - Dériver la fonction de taux I(x) de la limite de la fonction génératrice de cumulants échelonnés.

Propriétés clés de la fonction de taux I(x)

Convexe et semi-continue inférieure
I(x) ≥ 0 avec égalité à x le plus probable
Les événements peu probables ont une I(x) croissante

En substance, la théorie des grands écarts caractérise les événements rares par la décroissance exponentielle des probabilités régies par une fonction de taux.

Elle fournit un moyen mathématiquement rigoureux d'étudier les événements de queue.

Applications de la théorie des grands écarts dans la finance, les marchés et le trading

Gestion du risque

La théorie des grands écarts peut être utilisée pour évaluer le risque de pertes extrêmes dans les portefeuilles.

En comprenant les probabilités de mouvements de marché rares mais extrêmes, les gestionnaires de risques peuvent mieux se préparer et se couvrir contre les pertes potentielles.

Tarification des options

Sur les marchés d'options, les probabilités de mouvements significatifs des actifs sous-jacents sont importantes pour la fixation des prix.

La TGE permet d'estimer les queues de la distribution des rendements des actifs, ce qui est important pour la fixation du prix des options hors de la monnaie.

L'évaluation de la queue de distribution est très importante pour les options OTM en raison de la façon dont des événements extrêmes peuvent les amener à rapporter plusieurs multiples de la prime initiale.

Optimisation du portefeuille

En quantifiant les risques d'événements rares, la TGE permet une meilleure optimisation des portefeuilles et des portefeuilles moins vulnérables aux mouvements extrêmes du marché.

Tests de résistance

La TGE peut être utilisée pour tester les institutions financières et leur exposition à des événements de marché extrêmes.

En estimant la probabilité et l'impact des événements rares, les institutions peuvent mieux comprendre leurs vulnérabilités.

Comment les traders peuvent utiliser la théorie des grands écarts

Couverture du risque de queue

Les traders peuvent utiliser la théorie des grands écarts pour identifier et couvrir les risques de queue, c'est-à-dire les risques d'événements rares qui pourraient entraîner des pertes importantes.

Cela peut impliquer l'achat d'options ou d'autres instruments financiers qui rapportent dans des scénarios extrêmes.

La diversification

Apprendre à bien se diversifier et à répartir ses fonds de manière équilibrée et efficace permet d'augmenter le rendement par rapport au risque et de mieux équilibrer la queue gauche de la distribution.

Positionnement stratégique

Comprendre les probabilités d'écarts importants dans les prix du marché peut aider les traders à se positionner pour bénéficier d'événements rares - soit en prenant des positions qui bénéficieront de ces événements, soit en évitant les positions qui sont susceptibles d'en souffrir.

Modélisation et simulation

Les traders peuvent intégrer la TGE dans leurs modèles et simulations afin de mieux appréhender les risques liés aux mouvements de prix extrêmes.

Cela peut conduire à une modélisation plus précise des résultats potentiels et à une meilleure prise de décision.

Optimisation de l'exécution des ordres

Pour les transactions importantes, le TGE peut être utilisé pour optimiser l'exécution des ordres afin de minimiser l'impact sur le marché et le risque d'une variation importante du prix par rapport à l'intérêt du trader.

Exemple de codage - Théorie des grands écarts

Nous pouvons créer un exemple Python simplifié qui illustre comment estimer la probabilité d'événements rares (mouvements extrêmes du marché) en utilisant des données financières synthétiques qui donneront une démonstration de base pertinente pour la finance.

Exemple : Estimation de la probabilité de mouvements extrêmes du marché

Nous utiliserons des données historiques sur les cours des actions pour estimer la probabilité d'une chute importante des cours au cours d'une certaine période, sur la base d'événements historiques.

import numpy as np
import pandas as pd

# Simulation des rendements quotidiens d'une action (moyenne=0,001, std=0,02, 252 jours de bourse)
np.random.seed(87) # For reproducibility
daily_returns = np.random.normal(0.001, 0.02, 252)

# Convertir les rendements quotidiens en un DataFrame pandas
returns_df = pd.DataFrame(daily_returns, columns=['Daily Returns'])

# Définir une baisse significative comme une baisse de 5%.
significant_drop = -0.05

# Calculer le nombre de jours avec une baisse significative
days_with_significant_drop = returns_df[returns_df['Daily Returns'] <= significant_drop].shape[0]

# Estimer la probabilité d'une baisse significative
probability_of_significant_drop = days_with_significant_drop / len(returns_df)

print(f"Estimated Probability of a Daily Drop of 5% or More: {probability_of_significant_drop:.2%}")

Explication

Nous simulons les rendements quotidiens d'une action afin d'imiter les données historiques. Dans la pratique, vous utiliserez les données historiques réelles.
Nous définissons une "chute importante" comme une baisse de 5 % des rendements quotidiens, bien que ce seuil puisse être ajusté en fonction de vos critères concernant ce qui constitue un événement rare.
Nous calculons le nombre de jours au cours desquels cette baisse significative s'est produite, puis nous estimons la probabilité qu'une telle baisse se produise un jour donné.

Dans notre simulation, cette probabilité était de 0,79 % (soit 2 jours sur 252 - le nombre de jours de bourse dans une année). Ce chiffre pourrait être plus élevé ou plus bas.

Principaux enseignements

Cet exemple montre comment estimer la probabilité d'événements rares sur le marché (chutes de prix importantes) à l'aide de données historiques (ou de données synthétiques), un concept important de la théorie des grands écarts appliquée à la finance.
Il souligne l'importance de l'analyse des données historiques pour comprendre les risques de marché et se préparer à des mouvements de marché extrêmes.
Bien que cette méthode n'atteigne pas la rigueur mathématique de la théorie des grands écarts, elle fournit une approche pratique de l'estimation des probabilités d'événements rares, utile pour la gestion des risques et la planification financière.

Conclusion

La théorie des grands écarts est un cadre permettant de comprendre et de gérer les risques associés aux événements rares sur les marchés financiers.

En quantifiant les probabilités de ces événements, les traders et les gestionnaires de risques peuvent mieux se couvrir contre les pertes potentielles, évaluer les options avec plus de précision et optimiser les portefeuilles contre les risques extrêmes.

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