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#1 21-11-2023 14:20:24
- Climax
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Méthodes basées sur le gradient en finance quantitative
Les méthodes basées sur le gradient sont une catégorie de techniques d'optimisation utilisées en finance quantitative.
Elles utilisent le concept de gradient, qui est un vecteur indiquant la direction de l'ascension la plus raide d'une fonction.
Ces méthodes sont particulièrement efficaces dans les scénarios impliquant des fonctions objectives continues et différentiables.
Principaux enseignements:
Descente de gradient :
La descente de gradient est un algorithme d'optimisation fondamental utilisé dans l'apprentissage automatique et la finance quantitative.
Elle ajuste les paramètres de manière itérative afin de minimiser une fonction de coût.
Elle se déplace dans la direction de la descente la plus raide, définie par la valeur négative du gradient.
Descente de gradient stochastique (DGS) :
La descente de gradient stochastique est une variante de la descente de gradient dans laquelle les mises à jour des paramètres sont effectuées à partir d'un sous-ensemble de données (un mini-lot) plutôt qu'à partir de l'ensemble des données.
Cette approche peut conduire à une convergence plus rapide avec de grands ensembles de données.
Mais elle peut introduire plus de bruit dans la trajectoire d'optimisation.
Méthode du gradient conjugué :
La méthode du gradient conjugué est un algorithme de résolution numérique de certains systèmes d'équations linéaires, en particulier ceux dont la matrice est symétrique et définie positive.
Elle est souvent utilisée dans les problèmes d'optimisation en finance car elle peut être plus efficace que la méthode standard de descente du gradient, en particulier pour les systèmes de grande taille.
Méthode de Newton-Raphson :
La méthode de Newton-Raphson est un algorithme de recherche de racines qui utilise les dérivées premières et secondes pour trouver successivement de meilleures approximations des racines (ou zéros) d'une fonction à valeur réelle.
En optimisation, elle est utilisée pour trouver le maximum ou le minimum d'une fonction et est connue pour sa convergence quadratique.
Elle nécessite le calcul des dérivées secondes.
Descente de gradient
La descente de gradient est un algorithme d'optimisation itératif utilisé pour trouver le minimum local d'une fonction.
La descente de gradient est utilisée en finance pour optimiser les modèles financiers, comme l'optimisation de portefeuille ou la gestion des risques.
Il ajuste itérativement les paramètres pour minimiser une fonction de coût. Cela permet d'améliorer la précision et l'efficacité des prédictions et des décisions.
La méthode consiste à prendre des mesures proportionnelles à la valeur négative du gradient (ou du gradient approximatif) de la fonction au point actuel.
Elle est largement utilisée en raison de sa simplicité et de son efficacité dans une variété d'applications.
Application en finance quantitative
Comme nous l'avons mentionné, la descente de gradient est utilisée dans des tâches telles que la minimisation des fonctions de coût, l'étalonnage des modèles en fonction des données du marché et l'optimisation des stratégies d'investissement.
Elle est particulièrement efficace dans les scénarios où la fonction objective est convexe et différentiable*, comme dans l'optimisation de portefeuilles de moyenne-variance et dans la calibration de certains modèles financiers.
Il s'agit essentiellement d'un problème d'optimisation.
Le point minimum de cette courbe peut être considéré comme la "structure de capital optimale" (c'est-à-dire la bonne combinaison de dettes et de capitaux propres) pour maximiser la valeur de l'entreprise.
* Convexe et différentiable" se réfère à un type de fonction qui se courbe (convexe) et qui peut être différentiée en douceur en tout point. Cela donne une direction claire à la descente de gradient pour trouver efficacement la valeur minimale.
La descente de gradient, ou comment un réseau neuronal apprend
Descente de gradient stochastique (DGS)
La descente de gradient stochastique est une variante de l'algorithme de descente de gradient qui met à jour les paramètres du modèle en n'utilisant qu'un seul ou quelques exemples d'apprentissage à la fois.
Elle est particulièrement utile pour les grands ensembles de données car elle réduit la charge de calcul.
Il permet des itérations plus rapides en échange d'une variance plus élevée dans les mises à jour des paramètres.
Application en finance quantitative
La DGS trouve ses applications en finance quantitative dans des domaines tels que la modélisation des risques à grande échelle et le développement d'algorithmes de négociation complexes.
Il est particulièrement avantageux pour la modélisation financière en temps réel et le trading à haute fréquence - où la capacité à traiter rapidement de grandes quantités de données est la priorité numéro un.
L'efficacité déraisonnable de la descente stochastique de gradient
Méthode du gradient conjugué
La méthode du gradient conjugué est un algorithme pour la résolution numérique de systèmes particuliers d'équations linéaires, à savoir ceux dont la matrice est symétrique et définie positive.
Elle est souvent utilisée lorsque le système est trop grand pour être traité par des méthodes directes (telles que la décomposition de Cholesky).
Application en finance quantitative
En finance, elle est souvent utilisée pour optimiser des problèmes de portefeuille à grande échelle
Elle est particulièrement utile lorsqu'il s'agit de traiter de grandes matrices éparses, ce qui est courant dans la modélisation financière.
En fait, elle est utile lorsque vous devez prendre des décisions mais que vous n'avez pas de moyen clair ou facile de voir comment tout s'imbrique.
Méthode du gradient conjugué | Technique de calcul
Méthode de Newton
La méthode de Newton, également connue sous le nom de méthode de Newton-Raphson, est une technique permettant de trouver successivement de meilleures approximations des racines (ou des zéros) d'une fonction à valeur réelle.
La méthode utilise les dérivées première et seconde d'une fonction pour converger rapidement vers une solution.
Application en finance quantitative
La méthode de Newton est utilisée en finance quantitative pour optimiser les modèles non linéaires, en particulier pour calibrer des modèles financiers complexes en fonction des données du marché.
Elle est efficace dans les scénarios où des informations dérivées d'ordre supérieur sont disponibles et peut accélérer de manière significative la convergence vers une solution optimale par rapport à la descente de gradient de base.
Formule de Newton-Raphson et dérivation
Conclusion
Les méthodes basées sur le gradient, notamment la descente de gradient, la descente de gradient stochastique, la méthode du gradient conjugué et la méthode de Newton, sont utilisées en finance quantitative.
Elles sont largement utilisées pour optimiser les stratégies de trading et d'investissement, calibrer les modèles et gérer les risques.
En particulier dans les contextes où les fonctions objectives sont continues, différentiables et, idéalement, convexes (de sorte que les points optimaux peuvent être trouvés).
Leur efficacité dans le traitement de grands ensembles de données et de modèles mathématiques complexes en fait des outils utiles pour l'analyse et la modélisation financières.
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