#1 25-07-2012 21:15:10

Romain2
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Article"Le juste prix des options boursières"

Voici un article paru dans le magazine «La recherche "de novembre 2009 sur les applications et enjeux des mathématiques modernes. Cet article traite de la formule de Black et Scholes qui permet de définir le prix d'une option et explique son princippe, sans pour autant posséder au préalable de grosses connaissances en mathématiques.

Le juste prix des options boursières

Bourse rime souvent avec fluctuation.
Alors, comment minimiser le risque d'enregistrer des pertes?
Grace à la théorie mathématique de la spéculation.

Yves Derriennic, professeur à l'université de Bretagne Occidentale, au laboratoire de mathématique associé au CNRS.
Yves.Derrienic@univ-brest.fr


Un dollar placé en bon américain du Trésor en 1926 aurait rapporté à son détenteur la somme de 12 dollars en 1994.Le même investissement en actions, fondé sur l'évolution de l'indice S&P 500, référence du marché de Wall Street, aurait produit 811 dollars. Imaginons maintenant que l'investisseur ait pu, durant ces soixante-huit ans, prévoir l'évolution des cours et choisir chaque mois l'investissement le plus rentable: sa fortune aurait alors dépassé le milliard de dollar! Cette histoire, racontée par Andrew W.Lo, de l'Institut technologique du Massachusetts, rappelle que, pour les boursiers comme pour les joueurs de casino, prévoir est essentiel; aussi font-ils appel aux mathématiques.

En 1973, année de l'ouverture à la Bourse de Chicago du marché des options, fut publiée la plus célèbre formule de ce que l'on appelle aujourd’hui «mathématiques financières»: la formule de Black et Scholes, qui permet de calculer le prix d'une option. Grace à elle, Myron Scholies et Robert Merton (dont les idées étaient à l'origine de la formule) remportèrent le prix Nobel d'économie en 1997.Fisher Black, lui, était décédé peu auparavant. Cette formule repose sur le calcul différentiel «stochastique"(aléatoire), chapitre avancé des mathématiques élaboré au XXème siècle. Mais, à l'origine, on trouve un raisonnement qui ne demande aucun calcul différentiel.

Envisageons un exemple imaginaire avec deux devises, la pistole et l'écu. Chaque jour, le taux de change de l'écu contre la pistole peut varier de 50% à la hausse comme à la baisse : la valeur de l'écu peut être soit multipliée par 3/2, soit par 1/2. Le lundi, un écu vaut une pistole. Un entrepreneur aura besoin, mercredi, de 16 écus. Combien lui couteront-ils ? Soit (3/2)²*16=36 pistoles, soit (3/2)*(1/2)*16=12 pistoles, soit (1/2)²*16=4 pistoles.

Un banquier lui propose un contrat suivant lequel il lui vendra, mercredi, 16 écus pour 16 pistoles sur sa demande. En achetant ce contrat, l'entrepreneur se garantit contre une dépense éventuelle de 36 pistoles; il économiserait ainsi 36-16=20 pistoles. Si le cours est à la baisse, l’entrepreneur préfèrera acheter le mercredi les 16 écus nécessaire pour moins de 16 pistoles, sans demander l'exécution du contrat.

Autre hypothèse : le banquier peut faire des emprunts sans intérêts. Le problème posé est alors : à quel prix le banquier doit-il vendre sont contrat, qu’on appelle une option ?

Levée de l'option

Le lundi, il demandera une somme en pistoles, qui lui permettra de faire face à la levée de l'option le mercredi, après des opérations de change en écus et d'emprunt. Comment déterminer si cette somme existe et comment la calculer ?

Les évolutions possibles du cours de l'écu forment un arbre binaire. On raisonne en partant de la fin. Le mercredi, le banquier risque de perdre 20 pistoles dans l'éventualité ou l'écu vaudrait 9/4 de pistoles ; il ne perdra rien dans les autres cas. Supposons que, le mardi, la cour de l'écu soit de 3/2 et que le banquier ait 10 pistoles ; il devrait emprunter 10 pistoles et changer le tout en écus. Le mercredi, en cas de hausse, il aurait 3/2x20=30 ; il rembourserait les 10 empruntés et pourrai faire face à sa perte de 20. En cas de baisse, il aurait 1/2x20=10 pistoles ; il rembourserait et n'aurait aucune perte, l'entrepreneur n'exerçant pas l'option. Le même raisonnement peut être répété pour remonter du mardi au lundi. Si le banquier avait 5 pistoles le lundi, en empruntant 5 et en changeant le tout, il aurait le mardi 3/2x10=15 pistoles en cas de hausse ; après remboursement des 5 empruntées, il aurait les 10 nécessaires pour appliquer la première partie du raisonnement. En cas de baisse, il aurait 1/2x10=5 pistoles, assez pour rembourser, et n'a pas de pertes, l’entrepreneur n'exerce pas l'option.

Si le banquier vend l'option 5 pistoles, la stratégie d'emprunt et de change que l'on vient de décrire lui permet de faire face à la levée de l'option. C’est le «prix Black et Scholes"de cette option. Si le banquier vend l'option à un prix supérieur à 5 pistoles, disons 6, il sera sur de faire un bénéfice. Aucune hypothèse probabiliste n'a encore servi.

Répartition équitable

Un raisonnement comparable avait delà été utilisé par Pascal en 1654 pour résoudre le "problème des partis «posé par le chevalier de Méré.

Deux joueurs misent chacun 32 pistoles à un jeu de hasard en plusieurs manches, suivant la règle trois manches gagnant; mais les joueurs doivent interrompre le jeu, alors que l'un des deux a gagné deux manches et l'autre une. Comment répartir équitablement les 64 pistoles? La réponse de Pascal a été:48 pistoles pour le premier et 16 pour le second. Son calcul utilise une itération partant de la fin, comme pour le calcul du prix. Ce raisonnement pourrait être qualifié de" réccurence rétrograde" ou de "stratégie partant de la fin». Il se rencontre aussi en programmation dynamique.

Comment appliquer le même raisonnement dans des situations plus complexes? Dans l'exemple des options, on ignore l'évolution du cours de l'écu. On sait juste qu'il peut varier d'un jour au l'autre de plus ou moine 50%.En supposant que la hausse ou la baisse se produise suivant un pur hasard, l’évolution du cours obéit à une équation aux différences stochastiques X(n+1)-X(n)=E(n)*X(n) ou X(n) est le cours au n-ème jour et E(n) une variable aléatoire prenant les valeurs équiprobables plus ou moins  1/2;les variables E(n) sont indépendantes entres elles(la valeur prise par l'une n'influence pas celle prise par la suivante).La perte éventuelle du vendeur est une autre variable aléatoire qui vaut 20 avec une probabilité 1/4,ou 0 avec une probabilité 3/4.Enfin, le prix Black et Scholes de l'option est l'espérance de cette variable, c’est à dire la moyenne de ces valeurs pondérées par leur probabilités: (1/4)*20+(3/4)*0=5.

Dans les situations réelles, le cours d'un actif boursier évolue presque constamment. Pour représenter ses variations, on considère une fonction (continue) X(t) du temps t et non une suite X(n).
A priori, cette fonction est aléatoire, c'est à dire qu'elle sera tirée au sort dans l'ensemble infini de toutes les fonctions possibles. Pour exprimer la loi qui régit cette fonction aléatoire, Black et Scholes ont posé, à la place de l'équation aux différences stochastiques, une équation différentielle stochastique.

En reprenant l'idée de récurrence rétrograde, ils ont établi leur formule, qui exprime par une intégrale le prix d'une option sur l'actif boursier considéré. Ce prix est encore une moyenne des valeurs des pertes possibles pour le vendeur. La formule s'écrit de différentes façons suivant le type d’options (de ventes, à échéance variable...). De plus, la formule contient des paramètres qui varient suivant l'actif boursier sous-jacent à l'option et les taux d'intérêt en vigueur. Leurs valeurs sont estimées par des méthodes statistiques appliquées aux relevés de cours boursier observés dans le passé. Des estimations cruciales si l'on veut que l'application de la formule soit efficace.

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#2 26-07-2012 11:19:56

Climax
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Re: Article"Le juste prix des options boursières"

Merci pour le partage Romain,

Après une première lecture, je ne suis pas sûr d'avoir tout compris... Je relis ça tous à l'heure.


Le trading du forex et des CFD est réservé aux traders professionnels. Les compétences requises pour gérer les risques sont trop complexes pour les traders amateurs. Les pertes peuvent être supérieures au dépôt initial.

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#3 30-07-2012 21:32:41

Romain2
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Re: Article"Le juste prix des options boursières"

C'est vrai que comprendre tout d'un coup est assez délicat.Moi j'ai bien étudié chaque paragraphes un par un pour au final les mettres en relations smile

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